Ovládání se liší - Control variates

The ovládání se liší metoda je a redukce rozptylu technika používaná v Metody Monte Carlo. Využívá informace o chybách v odhadech známých veličin ke snížení chyby odhadu neznámého množství.^[1][2][3]

Základní princip

Nechť neznámo parametr zájmu být ${ displaystyle mu}$, a předpokládejme, že máme statistický ${ displaystyle m}$ takové, že očekávaná hodnota z m je μ: ${ displaystyle mathbb {E} doleva [m doprava] = mu}$, tj. m je nezaujatý odhad pro μ. Předpokládejme, že vypočítáme jinou statistiku ${ displaystyle t}$ takhle ${ displaystyle mathbb {E} doleva [t doprava] = tau}$ je známá hodnota. Pak

${ displaystyle m ^ { star} = m + c vlevo (t- tau vpravo) ,}$

je také nestranný odhad pro ${ displaystyle mu}$ pro libovolnou volbu koeficientu ${ displaystyle c}$. The rozptyl výsledného odhadce ${ displaystyle m ^ { star}}$ je

${ displaystyle { textrm {Var}} vlevo (m ^ { star} vpravo) = { textrm {Var}} vlevo (m vpravo) + c ^ {2} , { textrm {Var }} left (t right) + 2c , { textrm {Cov}} left (m, t right).}$

Je možné ukázat, že výběr optimálního koeficientu

${ displaystyle c ^ { star} = - { frac {{ textrm {Cov}} left (m, t right)} {{ textrm {Var}} left (t right)}}}$

minimalizuje rozptyl ${ displaystyle m ^ { star}}$, a to s touto volbou,

${ displaystyle { begin {aligned} { textrm {Var}} left (m ^ { star} right) & = { textrm {Var}} left (m right) - { frac { left [{ textrm {Cov}} left (m, t right) right] ^ {2}} {{ textrm {Var}} left (t right)}} & = left ( 1- rho _ {m, t} ^ {2} right) { textrm {Var}} left (m right) end {aligned}}}$

kde

${ displaystyle rho _ {m, t} = { textrm {Corr}} vlevo (m, t vpravo) ,}$

je korelační koeficient z ${ displaystyle m}$ a ${ displaystyle t}$. Čím větší je hodnota ${ displaystyle vert rho _ {m, t} vert}$, čím větší redukce rozptylu dosaženo.

V případě, že ${ displaystyle { textrm {Cov}} vlevo (m, t vpravo)}$, ${ displaystyle { textrm {Var}} vlevo (t vpravo)}$a / nebo ${ displaystyle rho _ {m, t} ;}$ nejsou známy, lze je odhadnout napříč repliky Monte Carlo. To je ekvivalent řešení určitého nejmenší čtverce Systém; proto je tato technika známá také jako regresní vzorkování.

Když očekávání řídicí proměnné, ${ displaystyle mathbb {E} doleva [t doprava] = tau}$, není analyticky známo, je stále možné zvýšit přesnost odhadu ${ displaystyle mu}$ (pro daný fixní rozpočet simulace) za předpokladu, že jsou splněny dvě podmínky: 1) hodnocení ${ displaystyle t}$ je výrazně levnější než výpočetní technika ${ displaystyle m}$; 2) velikost korelačního koeficientu ${ displaystyle | rho _ {m, t} |}$ je blízko k jednotě. ^[3]

Příklad

Chtěli bychom to odhadnout

${ displaystyle I = int _ {0} ^ {1} { frac {1} {1 + x}} , mathrm {d} x}$

použitím Integrace Monte Carlo. Tento integrál je očekávaná hodnota ${ displaystyle f (U)}$, kde

${ displaystyle f (U) = { frac {1} {1 + U}}}$

a U následuje a rovnoměrné rozdělení [0, 1]. Použití vzorku velikosti n označte body ve vzorku jako ${ displaystyle u_ {1}, cdots, u_ {n}}$. Poté je odhad dán vztahem

${ displaystyle I cca { frac {1} {n}} součet _ {i} f (u_ {i}).}$

Nyní představujeme ${ displaystyle g (U) = 1 + U}$ jako kontrola se mění se známou očekávanou hodnotou ${ displaystyle mathbb {E} vlevo [g vlevo (U vpravo) vpravo] = int _ {0} ^ {1} (1 + x) , mathrm {d} x = { tfrac {3} {2}}}$ a spojit je do nového odhadu

${ displaystyle I cca { frac {1} {n}} součet _ {i} f (u_ {i}) + c levý ({ frac {1} {n}} součet _ {i} g (u_ {i}) - 3/2 vpravo).}$

Použitím ${ displaystyle n = 1500}$ realizace a odhadovaný optimální koeficient ${ displaystyle c ^ { star} přibližně 0,4773}$ získáme následující výsledky

Rozptyl byl významně snížen po použití techniky kontroly variací. (Přesný výsledek je ${ displaystyle I = ln 2 přibližně 0,69314718}$.)

Viz také

• Antitetické se liší
• Vzorkování důležitosti

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Ovládací prvky se liší“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Srpna 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Poznámky

Reference

• Ross, Sheldon M. (2002) Simulace 3. vydání ISBN  978-0-12-598053-1
• Averill M. Law & W. David Kelton (2000), Simulační modelování a analýza, 3. vydání. ISBN  0-07-116537-1
• S. P. Meyn (2007) Řídicí techniky pro složité sítě, Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-88441-9. Koncept ke stažení (Část 11.4: Ovládací prvky se liší a stínové funkce)