Kontinuální q-Hermitovy polynomy - Continuous q-Hermite polynomials - Wikipedia

V matematice je kontinuální q-Hermitovy polynomy jsou rodina základních hypergeometrických ortogonální polynomy v základním Schéma Askey. Roelof Koekoek, Peter A. Lesky a René F. Swarttouw (2010, 14) poskytují podrobný seznam jejich vlastností.

Definice

Polynomy jsou uvedeny v termínech základní hypergeometrické funkce a Pochhammer symbol.

Opakovací a rozdílové vztahy

${ displaystyle 2xH_ {n} (x mid q) = H_ {n + 1} (x mid q) + (1-q ^ {n}) H_ {n-1} (x mid q)}$

s původními podmínkami

${ displaystyle H_ {0} (x mid q) = 1, H _ {- 1} (x mid q) = 0}$

Z výše uvedeného lze snadno vypočítat:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} H_ {0} (x mid q) & = 1 H_ {1} (x mid q) & = 2x H_ {2} (x mid q) & = 4x ​​^ {2} - (1-q) H_ {3} (x mid q) & = 8x ^ {3} -2x (2-qq ^ {2}) H_ {4} (x mid q) & = 16x ^ {4} -4x ^ {2} (3-qq ^ {2} -q ^ {3}) + (1-qq ^ {3} + q ^ {4}) end {zarovnaný}}}$

Rodriguesův vzorec

Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Září 2011)

Generující funkce

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} H_ {n} (x mid q) { frac {t ^ {n}} {(q; q) _ {n}}} = { frac {1} { left (te ^ {i theta}, te ^ {- i theta}; q right) _ { infty}}}}$

kde ${ displaystyle textstyle x = cos theta}$.

Vztah k ostatním polynomům

Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Září 2011)

Reference

• Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Základní hypergeometrická řadaEncyklopedie matematiky a její aplikace, 96 (2. vyd.), Cambridge University Press, doi:10.2277/0521833574, ISBN  978-0-521-83357-8, PAN  2128719
• Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A .; Swarttouw, René F. (2010), Hypergeometrické ortogonální polynomy a jejich q-analogySpringer Monografie z matematiky, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-05014-5, ISBN  978-3-642-05013-8, PAN  2656096
• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick S. C .; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), http://dlmf.nist.gov/18 | příspěvek-adresa URL = chybějící název (Pomoc), v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-19225-5, PAN  2723248