Kontinuální kvantové Monte Carlo - Continuous-time quantum Monte Carlo

Ve výpočetní oblasti fyzika pevných látek, Kontinuální kvantové Monte Carlo (CT-QMC) je rodina stochastický algoritmy za řešení Andersonův model nečistoty při konečné teplotě.^{[1][2][3][4][5]} Tyto metody nejprve plně rozšíří funkce oddílu jako série Feynmanovy diagramy, zaměstnat Wickova věta seskupit diagramy do determinanty a nakonec použít Markovský řetězec Monte Carlo stochasticky shrnout výslednou sérii.^[1]

Atribut nepřetržitý čas byl zaveden k odlišení metody od tehdy převládající Hirsch – Fye kvantové Monte Carlo metoda,^[2] který se spoléhá na a Diskretizace Suzuki – Trotter z imaginární čas osa.

Pokud podepsat problém chybí, lze metodu použít také k řešení příhradové modely tak jako Hubbardův model na poloviční plnění. Abychom jej odlišili od ostatních metod Monte Carlo pro takové systémy, které také pracují v nepřetržitém čase, je metoda obvykle označována jako Schematický determinantní kvantum Monte Carlo (DDQMC nebo DDMC).^[6]

Rozšíření funkce oddílu

v druhá kvantizace, Hamiltonian Andersonova modelu nečistoty zní:^[1]

${ displaystyle H = underbrace { sum _ {ij} E_ {ij} c_ {i} ^ { dagger} c_ {j}} _ {H _ { mathrm {loc0}}} + underbrace {{ frac {1} {2}} sum _ {ijkl} U_ {ikjl} c_ {i} ^ { dagger} c_ {j} ^ { dagger} c_ {l} c_ {k}} _ {H _ { mathrm {int}}} + underbrace { sum _ {p, i} { big (} V_ {pi} f_ {p} ^ { dagger} c_ {i} + V_ {pi} ^ {*} c_ { i} ^ { dagger} f_ {p} { big)}} _ {H _ { mathrm {hyb}}} + underbrace { sum _ {p} epsilon _ {p} f_ {p} ^ { dagger} f_ {p}} _ {H _ { mathrm {koupel}}}}$,

kde ${ displaystyle c_ {i} ^ { dagger}}$ a ${ displaystyle c_ {i}}$ jsou operátory tvorby a zničení, respektive, a fermion na nečistotu. Index ${ displaystyle i}$ shromažďuje spinový index a možná i další kvantová čísla, jako je orbitální (v případě víceorbitální nečistoty) a klastrový web (v případě víceúčelové nečistoty). ${ displaystyle f_ {p} ^ { dagger}}$ a ${ displaystyle f_ {p}}$ jsou odpovídající operátoři fermionů na neinteragující lázni, kde je kvantové číslo lázně ${ displaystyle p}$ bude obvykle spojitá.

Krok 1 CT-QMC je rozdělit hamiltonián na přesně řešitelný termín, ${ displaystyle H_ {0}}$, a zbytek, ${ displaystyle H _ { mathrm {I}}}$. Různé možnosti odpovídají různým expanzím a tedy různým algoritmickým popisům. Běžné možnosti jsou:

• Rozšíření interakce (CT-INT):^[2] ${ displaystyle H _ { mathrm {I}} = H _ { mathrm {int}}}$
• Hybrdisiační expanze (CT-HYB):^[3][4] ${ displaystyle H _ { mathrm {I}} = H _ { mathrm {hyb}}}$
• Rozšíření pomocného pole (CT-AUX):^[5] jako CT-INT, ale interakční člen je nejprve oddělen pomocí diskrétního Hubbard-Stratonovichova transformace

Krok 2 je přepnutí na interakční obrázek a rozbalte funkci oddílu z hlediska a Řada Dyson:

${ displaystyle Z = operatorname {tr} left ( mathrm {e} ^ {- beta H} right) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {n!}} int _ {0} ^ { beta} mathrm {d} ^ {n} tau ; operatorname {tr} left [ mathrm {e} ^ {- beta H_ {0}} T _ { tau} H _ { mathrm {I}} ( tau _ {1}) H _ { mathrm {I}} ( tau _ {2}) cdots H _ { mathrm {I}} ( tau _ {n}) vpravo]}$,

kde ${ displaystyle beta}$ je inverzní teplota a ${ displaystyle T _ { tau}}$ označuje imaginární objednávání času. Přítomnost (nulové) mřížky reguluje série a konečná velikost a teplota systému renormalizace zbytečné.^[2]

Série Dyson generuje faktoriální počet identických diagramů na objednávku, což ztěžuje vzorkování a možná zhoršuje problém se znaménky. Jako krok 3 tedy jeden používá Wickova věta seskupit identické diagramy do determinantů. To vede k výrazům:^[1]

• Rozšíření interakce (CT-INT):

${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} prod _ { alpha = 1} ^ {n} sum _ {i _ { alpha} j _ { alpha} k _ { alpha} l _ { alpha}} int mathrm {d} tau _ { alpha} left (- { frac {1} {2}} U_ {i _ { alpha} k _ { alpha} j _ { alpha } l _ { alpha}} right) det left [{ begin {array} {cc} langle T _ { tau} c_ {i _ { alpha}} ^ { dagger} ! ( tau _ { alpha}) c_ {k _ { beta}} ! ( tau _ { beta}) rangle _ {0} & langle T _ { tau} c_ {i _ { alpha}} ^ { dýka} ! ( tau _ { alpha}) c_ {l _ { beta}} ! ( tau _ { beta}) rangle _ {0} langle T _ { tau} c_ { j _ { alpha}} ^ { dagger} ! ( tau _ { alpha}) c_ {k _ { beta}} ! ( tau _ { beta}) rangle _ {0} & jazyk T _ { tau} c_ {j _ { alpha}} ^ { dagger} ! ( tau _ { alpha}) c_ {l _ { beta}} ! ( tau _ { beta}) rangle _ {0} end {array}} right] _ { alpha beta}}$

• Hybridizační expanze (CT-HYB):

${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} prod _ { alpha = 1} ^ {n} sum _ {i _ { alpha} j _ { alpha}} int mathrm {d} tau _ { alpha} mathrm {d} tau _ { alpha} ^ { prime} operatorname {tr} { Big [} mathrm {e} ^ {- beta (H_ { mathrm {loc0}} + H _ { mathrm {int}})} T _ { tau} prod _ { alpha = 1} ^ {n} c_ {i _ { alpha}} ^ { dagger} ( tau _ { alpha}) c_ {i _ { alpha}} ( tau _ { alpha} ^ { prime}) { Big]} ; det { big [} Delta _ {i _ { alpha} j _ { beta}} ( tau _ { alpha} - tau _ { beta} ^ { prime}) { big]} _ { alpha beta}}$

V posledním kroku si všimneme, že se nejedná o nic jiného než o integrál nad velkou doménou a provede to pomocí a Metoda Monte Carlo, obvykle Algoritmus Metropolis-Hastings.

Viz také

• Algoritmus Metropolis-Hastings
• Kvantové Monte Carlo
• Teorie dynamického středního pole

Reference