Věta o konstantním akordu - Constant chord theorem

konstantní délka akordu: ${ displaystyle | P_ {1} Q_ {1} | = | P_ {2} Q_ {2} |}$

délka konstantního průměru: ${ displaystyle | P_ {1} Q_ {1} | = | P_ {2} Q_ {2} |}$

The věta o konstantním akordu je prohlášení v elementární podobě geometrie o vlastnost jisté akordy ve dvou protínajících se kruhy.

Kruhy ${ displaystyle k_ {1}}$ a ${ displaystyle k_ {2}}$ protínají v bodech ${ displaystyle P}$ a ${ displaystyle Q}$. ${ displaystyle Z_ {1}}$ je libovolný bod ${ displaystyle k_ {1}}$ se liší od ${ displaystyle P}$ a ${ displaystyle Q}$. Čáry ${ displaystyle Z_ {1} P}$ a ${ displaystyle Z_ {1} Q}$ protínají kruh ${ displaystyle k_ {2}}$ v ${ displaystyle P_ {1}}$ a ${ displaystyle Q_ {1}}$. Věta o konstantním akordu pak uvádí, že délka akordu ${ displaystyle P_ {1} Q_ {1}}$ v ${ displaystyle k_ {2}}$ nezávisí na umístění ${ displaystyle Z_ {1}}$ na ${ displaystyle k_ {1}}$, jinými slovy, délka je konstantní.

Věta zůstává platná, když ${ displaystyle Z_ {1}}$ se shoduje s ${ displaystyle P}$ nebo ${ displaystyle Q}$, za předpokladu, že jeden nahradí tehdy nedefinovaný řádek ${ displaystyle Z_ {1} P}$ nebo ${ displaystyle Z_ {1} Q}$ tečnou na ${ displaystyle k_ {1}}$ na ${ displaystyle Z_ {1}}$.

Podobná věta existuje ve třech dimenzích pro průnik dvou koule. Koule ${ displaystyle k_ {1}}$ a ${ displaystyle k_ {2}}$ protínají se v kruhu ${ displaystyle k_ {s}}$. ${ displaystyle Z_ {1}}$ je libovolný bod na povrchu první koule ${ displaystyle k_ {1}}$, to není na kružnici ${ displaystyle k_ {s}}$. Prodloužený kužel vytvořil ${ displaystyle k_ {s}}$ a ${ displaystyle Z_ {1}}$ protíná druhou sféru ${ displaystyle k_ {2}}$ v kruhu. Délka průměru této kružnice je konstantní, to znamená, že nezávisí na umístění ${ displaystyle Z_ {1}}$ na ${ displaystyle k_ {1}}$.

Soud Nathana Altshillera popsal v článku konstantní teorém akordů z roku 1925 sur deux cercles secants pro belgický matematický deník Matematika. O osm let později publikoval Na dvou protínajících se sférách v Americký matematický měsíčník, který obsahoval 3-dimenzionální verzi. Později byl zařazen do několika učebnic, jako např Ross Honsberger je Matematické sousta a Roger B. Nelsen je Důkaz beze slov II, kde to bylo zadáno jako problém, nebo učebnici německé geometrie Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten Halbeisen, Hungerbühler a Läuchli, kde to bylo dáno jako věta.

Reference

• Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN  9783662530344, str. 16 (německy)
• Roger B. Nelsen: Důkaz beze slov II. MAA, 2000, s. 29
• Ross Honsberger: Matematické sousta. MAA, 1979, ISBN  978-0883853030, str. 126–127
• Soud Nathana Altshillera: Na dvou protínajících se sférách. The American Mathematical Monthly, Band 40, Nr. 5, 1933, s. 265–269 (JSTOR )
• Nathan Altshiller-Court: sur deux cercles secants. Mathesis, Band 39, 1925, str. 453 (francouzsky)

externí odkazy

• věta o konstantním akordu jako problém na cut-the-knot.org