Dirigent abelianské odrůdy - Conductor of an abelian variety

v matematika, v Diophantine geometrie, dirigent abelianské odrůdy definované nad a místní nebo globální pole F je měřítkem toho, jak „špatné“ špatná redukce na nějaký vrchol je. Je připojen k rozvětvení v poli generovaném torzní body.

Definice

Pro abelianská odrůda A definované přes pole F jak je uvedeno výše, s kruhem celých čísel R, zvažte Néron model z A, což je „nejlepší možný“ model A definováno přes R. Tento model může být reprezentován jako systém přes

Spec (R)

(srov. spektrum prstenu ) pro které generické vlákno konstruováno pomocí morfismu

Spec (F) → Spec (R)

dává zpět A. Nechat A⁰ označují otevřené podskupinové schéma modelu Néron, jehož vlákna jsou spojenými komponentami. Pro maximální ideál P z R s zbytkové pole k, A⁰_k je skupinová odrůda k, tedy rozšíření abelianské odrůdy o lineární skupinu. Tato lineární skupina je prodloužením torusu o a unipotentní skupina. Nechat u_P být dimenzí unipotentní skupiny a t_P rozměr torusu. Pořadí dirigenta v P je

${ displaystyle f_ {P} = 2u_ {P} + t_ {P} + delta _ {P}, ,}$

kde ${ displaystyle delta _ {P} v mathbb {N}}$ je míra divokého rozvětvení. Když F je číselné pole, ideální pro vodič A darováno

${ displaystyle f = prod _ {P} P ^ {f_ {P}}.}$

Vlastnosti

• A má dobrá redukce na P kdyby a jen kdyby ${ displaystyle u_ {P} = t_ {P} = 0}$ (což znamená ${ displaystyle f_ {P} = delta _ {P} = 0}$).
• A má semistabilní redukce kdyby a jen kdyby ${ displaystyle u_ {P} = 0}$ (pak znovu ${ displaystyle delta _ {P} = 0}$).
• Li A získává semistabilní snížení oproti rozšíření Galois z F stupně připravit na p, charakteristika zbytku při P, pak δ_P = 0.
• Li ${ displaystyle p> 2d + 1}$, kde d je rozměr A, pak ${ displaystyle delta _ {P} = 0}$.
• Li ${ displaystyle p leq 2d + 1}$ a F je konečné rozšíření ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ stupně rozvětvení ${ displaystyle e (F / mathbb {Q} _ {p})}$, existuje horní mez vyjádřená z hlediska funkce ${ displaystyle L_ {p} (n)}$, který je definován takto:

Psát si ${ displaystyle n = součet _ {k geq 0} c_ {k} p ^ {k}}$ s ${ displaystyle 0 leq c_ {k}$ a nastavit ${ displaystyle L_ {p} (n) = součet _ {k geq 0} kc_ {k} p ^ {k}}$. Pak^[1]

${ displaystyle (*) qquad f_ {P} leq 2d + e (F / mathbb {Q} _ {p}) left (p left lfloor { frac {2d} {p-1}} right rfloor + (p-1) L_ {p} left ( left lfloor { frac {2d} {p-1}} right rfloor right) right).}$

Dále pro každého ${ displaystyle d, p, e}$ s ${ displaystyle p leq 2d + 1}$ tam je pole ${ displaystyle F / mathbb {Q} _ {p}}$ s ${ displaystyle e (F / mathbb {Q} _ {p}) = e}$ a abelianská odrůda ${ displaystyle A / F}$ dimenze ${ displaystyle d}$ aby ${ displaystyle (*)}$ je rovnost.

Reference