Vodivost blízko prahové hodnoty perkolace

Ve směsi mezi dielektrickou a kovovou složkou je vodivost ${ displaystyle sigma}$ a dielektrická konstanta ${ displaystyle epsilon}$ této směsi vykazuje kritické chování, pokud frakce kovové složky dosáhne práh perkolace.^[1] Chování vodivosti poblíž této prahové hodnoty perkolace bude ukazovat plynulý přechod z vodivosti dielektrické složky na vodivost kovové složky a lze jej popsat pomocí dvou kritické exponenty s a t, zatímco dielektrická konstanta se bude lišit, pokud se k prahu přiblíží z kterékoli strany. Zahrnout frekvence závislé chování, a odpor -kondenzátor model (R-C model).

Geometrická perkolace

Pro popis takové směsi dielektrické a kovové složky používáme model vazby-perkolace. Na pravidelné mřížce může být vazba mezi dvěma nejbližšími sousedy obsazena s pravděpodobností ${ displaystyle p}$ nebo není obsazeno s pravděpodobností ${ displaystyle 1-p}$ . Existuje kritická hodnota ${ displaystyle p_ {c}}$ . Pro pravděpodobnosti zaměstnání ${ displaystyle p> p_ {c}}$ vytvoří se nekonečný shluk obsazených vazeb. Tato hodnota ${ displaystyle p_ {c}}$ se nazývá práh perkolace. Oblast poblíž této prahové hodnoty perkolace lze popsat dvěma kritickými exponenty ${ displaystyle nu}$ a ${ displaystyle beta}$ (vidět Perkolační kritické exponenty ).

S těmito kritickými exponenty máme korelační délka, ${ displaystyle xi}$

${ displaystyle xi (p) propto (p_ {c} -p) ^ {- nu}}$

a pravděpodobnost perkolace, P:

${ displaystyle P (p) propto (p-p_ {c}) ^ { beta}}$

Elektrická perkolace

Pro popis elektrické perkolace identifikujeme obsazené vazby modelu perkolace vazby s kovovou složkou mající vodivost ${ displaystyle sigma _ {m}}$ . A dielektrická složka s vodivostí ${ displaystyle sigma _ {d}}$ odpovídá neobsazeným dluhopisům. Zvažujeme dva následující dobře známé případy a směs vodič-izolátor a a směs supravodič – vodič.

Směs vodič - izolátor

V případě směsi vodič-izolátor máme ${ displaystyle sigma _ {d} = 0}$ . Tento případ popisuje chování, pokud se prahová hodnota perkolace blíží shora:

${ displaystyle sigma _ {DC} (p) propto sigma _ {m} (p-p_ {c}) ^ {t}}$

pro ${ displaystyle p> p_ {c}}$

Pod prahovou hodnotou perkolace nemáme žádnou vodivost kvůli dokonalému izolátoru a jen konečným kovovým shlukům. Exponent t je jedním ze dvou kritických exponentů pro elektrickou perkolaci.

Směs supravodič – vodič

V dalším známém případě a supravodič - máme směs vodičů ${ displaystyle sigma _ {m} = infty}$ . Tento případ je užitečný pro popis pod prahovou hodnotou perkolace:

${ displaystyle sigma _ {DC} (p) propto sigma _ {d} (p_ {c} -p) ^ {- s}}$

pro ${ displaystyle p$

Nyní, nad prahovou hodnotou perkolace, se vodivost stává nekonečnou kvůli nekonečným supravodivým shlukům. A také dostaneme druhý kritický exponent s pro elektrickou perkolaci.

V oblasti kolem prahové hodnoty perkolace předpokládá vodivost formu měřítka:^[2]

${ displaystyle sigma (p) propto sigma _ {m} | Delta p | ^ {t} Phi _ { pm} vlevo (h | Delta p | ^ {- s-t} vpravo)}$

s ${ displaystyle Delta p equiv p-p_ {c}}$ a ${ displaystyle h equiv { frac { sigma _ {d}} { sigma _ {m}}}}$

Při perkolační hranici dosáhne vodivost hodnoty:^[1]

${ displaystyle sigma _ {DC} (p_ {c}) propto sigma _ {m} vlevo ({ frac { sigma _ {d}} { sigma _ {m}}} vpravo) ^ {u}}$

s ${ displaystyle u = { frac {t} {t + s}}}$

Hodnoty pro kritické exponenty

V různých zdrojích existují různé hodnoty pro kritické exponenty s, t a u ve 3 dimenzích:

Hodnoty pro kritické exponenty ve 3 dimenzích
	Efros et al.^[1]	Úředník et al.^[2]	Bergman et al.^[3]
t	1,60	1,90	2,00
s	1,00	0,73	0,76
u	0,62	0,72	0,72

Dielektrická konstanta

Dielektrická konstanta také ukazuje kritické chování poblíž prahové hodnoty perkolace. Pro skutečnou část dielektrické konstanty máme:^[1]

${ displaystyle epsilon _ {1} ( omega = 0, p) = { frac { epsilon _ {d}} {| p-p_ {c} | ^ {s}}}}$

Model R-C

V rámci modelu R-C jsou vazby v modelu perkolace reprezentovány čistými rezistory s vodivostí ${ displaystyle sigma _ {m} = 1 / R}$ pro obsazené vazby a dokonalými kondenzátory s vodivostí ${ displaystyle sigma _ {d} = iC omega}$ (kde ${ displaystyle omega}$ představuje úhlová frekvence ) pro neobsazené dluhopisy. Zákon o změně měřítka má nyní podobu:^[2]

${ displaystyle sigma (p, omega) propto { frac {1} {R}} | Delta p | ^ {t} Phi _ { pm} vlevo ({ frac {i omega} { omega _ {0}}} | Delta p | ^ {- (s + t)} vpravo)}$

Tento zákon měřítka obsahuje čistě imaginární proměnnou měřítka a kritickou časovou stupnici

${ displaystyle tau ^ {*} = { frac {1} { omega _ {0}}} | Delta p | ^ {- (s + t)}}$

který se odchyluje, pokud se prahová hodnota perkolace blíží shora i zdola.^[2]

Vodivost pro husté sítě

Pro hustou síť nejsou koncepce perkolace přímo použitelné a efektivní odpor se počítá z hlediska geometrických vlastností sítě.^[4] Za předpokladu, že vzdálenost od okraje << vzdálenost elektrod a okraje budou rovnoměrně rozloženy, lze uvažovat o rovnoměrném poklesu potenciálu z jedné elektrody na druhou. Odpor listu takové náhodné sítě ( ${ displaystyle R_ {sn}}$ ) lze psát z hlediska hustoty hrany (drátu) ( ${ displaystyle N_ {E}}$ ), měrný odpor ( ${ displaystyle rho}$ ), šířka ( ${ displaystyle w}$ ) a tloušťka ( ${ displaystyle t}$ ) hran (drátů) jako:

${ displaystyle R_ {sn} , = , { frac { pi} {2}} { frac { rho} {w , t , { sqrt {N_ {E}}}}}} , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,}$

Reference

^ ^A ^b ^C ^d Efros, A.L .; Shklovskii, B. I. (1976). „Kritické chování vodivosti a dielektrické konstanty poblíž prahu přechodu mezi kovem a nekovem“. Phys. Stav Solidi B. 76 (2): 475–485. doi:10.1002 / pssb.2220760205.
^ ^A ^b ^C ^d Clerc, J. P .; Giraud, G .; Laugier, J. M .; Luck, J. M. (1990). "Elektrická vodivost binárních neuspořádaných systémů, perkolačních klastrů, fraktálů a souvisejících modelů". Adv. Phys. 39 (3): 191–309. doi:10.1080/00018739000101501.
^ Bergman, D. J .; Stroud, D. (1992). "Fyzikální vlastnosti makroskopicky nehomogenního média". V H. Ehrenreich und D. Turnbull (ed.). Fyzika pevných látek. 46. Academic Press vč. doi:10.1016 / S0081-1947 (08) 60398-7.
^ Kumar, Ankush; Vidhyadhiraja, N. S .; Kulkarni, G. U. (2017). "Rozložení proudu ve vedení nanodrátových sítí". Journal of Applied Physics. 122 (4): 045101. doi:10.1063/1.4985792.

Viz také

Teorie perkolace

[Efros-1] A ^b ^C ^d Efros, A.L .; Shklovskii, B. I. (1976). „Kritické chování vodivosti a dielektrické konstanty poblíž prahu přechodu mezi kovem a nekovem“. Phys. Stav Solidi B. 76 (2): 475–485. doi:10.1002 / pssb.2220760205.

[Clerc-2] A ^b ^C ^d Clerc, J. P .; Giraud, G .; Laugier, J. M .; Luck, J. M. (1990). "Elektrická vodivost binárních neuspořádaných systémů, perkolačních klastrů, fraktálů a souvisejících modelů". Adv. Phys. 39 (3): 191–309. doi:10.1080/00018739000101501.

[Bergman-3] Bergman, D. J .; Stroud, D. (1992). "Fyzikální vlastnosti makroskopicky nehomogenního média". V H. Ehrenreich und D. Turnbull (ed.). Fyzika pevných látek. 46. Academic Press vč. doi:10.1016 / S0081-1947 (08) 60398-7.

[4] Kumar, Ankush; Vidhyadhiraja, N. S .; Kulkarni, G. U. (2017). "Rozložení proudu ve vedení nanodrátových sítí". Journal of Applied Physics. 122 (4): 045101. doi:10.1063/1.4985792.

[1]

[2]

[3]

[4]