Podmíněná logistická regrese - Conditional logistic regression

Podmíněná logistická regrese je příponou logistická regrese což umožňuje vzít v úvahu stratifikace a vhodný. Jeho hlavní oblastí použití je observační studie a zejména epidemiologie. To bylo navrženo v roce 1978 Norman Breslow, Nicholas Day K. K. Halvorsen, Ross L. Prentice a C. Sabai.^[1] Jedná se o nejflexibilnější a obecný postup pro porovnávaná data.

Motivace

Využití observačních studií stratifikace nebo vhodný jako způsob ovládání pro matoucí. Před podmíněnou logistickou regresí pro shodná data existovalo několik testů, jak je uvedeno v související testy. Nepovolili však analýzu spojitých prediktorů s libovolnou velikostí vrstvy. Všechny tyto postupy také postrádají flexibilitu podmíněné logistické regrese a zejména možnost kontroly kovariát.

Logistická regrese může brát v úvahu stratifikaci tím, že má pro každou vrstvu jiný konstantní termín. Označme to ${ displaystyle Y_ {i ell} v {0,1 }}$ štítek (např. stav případu) ${ displaystyle ell}$th pozorování ${ displaystyle i}$th stratum and ${ displaystyle X_ {i ell} in mathbb {R} ^ {p}}$ hodnoty příslušných prediktorů. Potom je pravděpodobnost jednoho pozorování

${ displaystyle mathbb {P} (Y_ {i ell} = 1 | X_ {i ell}) = { frac { exp ( alpha _ {i} + { boldsymbol { beta}} ^ { top} X_ {i ell})} {1+ exp ( alpha _ {i} + { boldsymbol { beta}} ^ { top} X_ {i ell})}}}$

kde ${ displaystyle alpha _ {i}}$ je konstantní termín pro ${ displaystyle i}$th stratum. I když to funguje uspokojivě pro omezený počet vrstev, k patologickému chování dochází, když jsou vrstvy malé. Když jsou vrstvy dvojice, počet parametrů roste s počtem pozorování ${ displaystyle N}$ (to se rovná ${ displaystyle { frac {N} {2}} + p}$). Asymptotické výsledky, na kterých odhad maximální věrohodnosti je založen na nejsou proto platné a odhad je předpojatý. Ve skutečnosti lze prokázat, že bezpodmínečná analýza dat spárovaných párů vede k odhadu poměru šancí, který je druhou mocninou správného, ​​podmíněného.^[2]

Podmíněná pravděpodobnost

Přístup podmíněné pravděpodobnosti se zabývá výše uvedeným patologickým chováním tím, že podmíní počet případů v každé vrstvě, a proto eliminuje potřebu odhadovat parametry vrstev. V případě, že vrstvy jsou páry, kde první pozorování je případ a druhé je kontrola, lze to vidět následovně

${ displaystyle { begin {aligned} & mathbb {P} (Y_ {i1} = 1, Y_ {i2} = 0 | X_ {i1}, X_ {i2}, Y_ {i1} + Y_ {i2} = 1) & = { frac { mathbb {P} (Y_ {i1} = 1 | X_ {i1}) mathbb {P} (Y_ {i2} = 0 | X_ {i2})} { mathbb {P} (Y_ {i1} = 1 | X_ {i1}) mathbb {P} (Y_ {i2} = 0 | X_ {i2}) + mathbb {P} (Y_ {i1} = 0 | X_ { i1}) mathbb {P} (Y_ {i2} = 1 | X_ {i2})}} [6pt] & = { frac {{ frac { exp ( alpha _ {i} + { boldsymbol { beta}} ^ { top} X_ {i1})} {1+ exp ( alpha _ {i} + { boldsymbol { beta}} ^ { top} X_ {i1})} } times { frac {1} {1+ exp ( alpha _ {i} + { boldsymbol { beta}} ^ { top} X_ {i2})}}} {{ frac { exp ( alpha _ {i} + { boldsymbol { beta}} ^ { top} X_ {i1})} {1+ exp ( alpha _ {i} + { boldsymbol { beta}} ^ { top} X_ {i1})}} times { frac {1} {1+ exp ( alpha _ {i} + { boldsymbol { beta}} ^ { top} X_ {i2})} } + { frac {1} {1+ exp ( alpha _ {i} + { boldsymbol { beta}} ^ { top} X_ {i1})}} times { frac { exp ( alpha _ {i} + { boldsymbol { beta}} ^ { top} X_ {i2})} {1+ exp ( alpha _ {i} + { boldsymbol { beta}} ^ { nahoru} X_ {i2})}}}} [6pt] & = { frac { exp ({ boldsymbol { beta}} ^ { top} X_ {i1})} { exp ({ boldsymbol { beta}} ^ { top} X_ {i1}) + exp ({ boldsymbol { beta}} ^ { top} X_ {i2})}}. [6pt] end {zarovnáno}}}$

Při podobných výpočtech je podmíněná pravděpodobnost velikosti vrstvy ${ displaystyle m}$, s ${ displaystyle k}$ první připomínky jsou případy, je

${ displaystyle mathbb {P} (Y_ {ij} = 1 { text {pro}} j leq k, Y_ {ij} = 0 { text {for}} k$

kde ${ displaystyle { mathcal {C}} _ ​​{k} ^ {m}}$ je sada všech podmnožin velikosti ${ displaystyle k}$ sady ${ displaystyle {1, ..., m }}$.

Úplná podmíněná logaritmická pravděpodobnost je pak jednoduše součtem logaritmických pravděpodobností pro každou vrstvu. Odhad je pak definován jako ${ displaystyle beta}$ který maximalizuje podmíněnou pravděpodobnost protokolu.

Implementace

Podmíněná logistická regrese je k dispozici v R jako funkce dřevák v přežití balík. Je to v přežití balíček, protože pravděpodobnost logaritmu podmíněného logistického modelu je stejná jako logaritmická pravděpodobnost modelu Cox s konkrétní datovou strukturou.^[3]

Související testy

• Test spárovaného rozdílu umožňuje otestovat asociaci mezi binárním výsledkem a spojitým prediktorem při zohlednění párování.
• Cochran-Mantel-Haenszelův test umožňuje otestovat asociaci mezi binárním výsledkem a binárním prediktorem při zohlednění stratifikace s velikostí libovolné vrstvy. Po ověření podmínek aplikace je identická s podmíněnou logistickou regresí bodový test.^[4]

Poznámky