Conchoid of Dürer - Conchoid of Dürer

Conchoid of Dürer, postavený sám

The konchoid Dürera, také zvaný Dürerova křivka skořápky, je varianta a konchoidní nebo letadlo algebraická křivka, pojmenoval podle Albrecht Dürer a představen v roce 1525. Není to opravdový konchoid.

Konstrukce

Konstrukce Dürerovy konchoidy

Předpokládejme, že jsou uvedeny dvě kolmé čáry s průsečíkem Ó. Pro úplnost můžeme předpokládat, že se jedná o souřadnicové osy a to Ó je počátek, to je (0, 0). Nechť body $Q = (q, 0)$ a $R = (0, r)$ pohybovat se po osách takovým způsobem, že $q + r = b$ konstanta. Na lince $QR$ , podle potřeby rozšířit, označit body $P$ a $P '$ na pevnou vzdálenost $A$ z $Q$ . Místo bodů $P$ a $P '$ je Dürerův konchoid.^[1]

Rovnice

Rovnice konchoidu v kartézské formě je

{displaystyle 2y ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) - 2by ^ {2} (x + y) + (b ^ {2} -3a ^ {2}) y ^ {2} -a ^ {2} x ^ {2} + 2a ^ {2} b (x + y) + a ^ {2} (a ^ {2} -b ^ {2}) = 0.}

V parametrické formě je rovnice dána vztahem

{displaystyle {egin {aligned} x & = {frac {bcos (t)} {cos (t) -sin (t)}} + acos (t), y & = asin (t), end {aligned}}}

kde parametr $t$ se měří v radiány.^[2]

Vlastnosti

Křivka má dvě složky, asymptotické k čarám ${displaystyle y = pm a / {sqrt {2}}}$ .^[3] Každá součást je a racionální křivka. Li A > b existuje smyčka, pokud A = b je hrot na (0,A).

Zvláštní případy zahrnují:

A = 0: řádek y = 0;
b = 0: pár linek ${displaystyle y = pm a / {sqrt {2}}}$ společně s kruhem ${displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2}}$ ;

A = 3, b = 1, je zobrazena smyčka
A = 3, b = 3, je zobrazen hrot
A = 3, b = 5

Obálka přímek použitých v konstrukci tvoří a parabola (jak je vidět na Durerově původním diagramu výše), a proto je křivka bodováglissette tvořený přímkou a jedním z jejích bodů klouzajícím po parabole a jedné z jejích tečen.^[4]

Dějiny

Poprvé to popsal Němec malíř a matematik Albrecht Dürer (1471–1528) ve své knize Underweysung der Messung (Pokyny pro měření kompasem a pravítkem p. 38), volat to Ein muschellini (Conchoid nebo Shell). Dürer nakreslil pouze jednu větev křivky.

Viz také

Reference

^ Lawrence, J. Dennis (1972), Katalog speciálních rovinných křivekPublikace Dover, s.157, ISBN 0-486-60288-5
^ „Dürerův konchoid“. pozor na konstanty $A$ a $b$ jsou v tomto zdroji zaměňovány
^ Fettis, Henry E. (1983), „Geometrie Dürerova konchoidu“ (PDF), Crux Mathematicorum, 9 (2), ISSN 0705-0348
^ Lockwood, E. H. (2007) [1967], Kniha křivek, Cambridge University Press, str. 164, ISBN 9780521044448

externí odkazy

Weisstein, Eric W. „Dürerův konchoid“. MathWorld.

[1] Lawrence, J. Dennis (1972), Katalog speciálních rovinných křivekPublikace Dover, s.157, ISBN 0-486-60288-5

[2] „Dürerův konchoid“. pozor na konstanty $A$ a $b$ jsou v tomto zdroji zaměňovány

[3] Fettis, Henry E. (1983), „Geometrie Dürerova konchoidu“ (PDF), Crux Mathematicorum, 9 (2), ISSN 0705-0348

[4] Lockwood, E. H. (2007) [1967], Kniha křivek, Cambridge University Press, str. 164, ISBN 9780521044448

[1]

[2]

[3]

[4]