Koncentrační rozměr - Concentration dimension

v matematika - konkrétně v teorie pravděpodobnosti - dimenze koncentrace a Banachův prostor -hodnota náhodná proměnná je číselná míra toho, jak je „rozložena“ náhodná proměnná ve srovnání s norma v prostoru.

Definice

Nechť (B, || ||) být Banachovým prostorem a nechat X být Gaussova náhodná proměnná přijímání hodnot v B. To znamená pro každou lineární funkci ℓ v dvojí prostor B^∗, náhodná proměnná se skutečnou hodnotou ⟨ℓ, X⟩ má normální distribuce. Definovat

${displaystyle sigma (X) = sup left {left. {sqrt {operatorname {E} [langle ell, Xangle ^ {2}]}}, ight |, ell in B ^ {ast}, | ell | leq 1ight}. }$

Pak dimenze koncentrace d(X) z X je definováno

${displaystyle d (X) = {frac {operatorname {E} [| X | ^ {2}]} {sigma (X) ^ {2}}}.}$

Příklady

• Li B je n-dimenzionální Euklidovský prostor Rⁿ se svým obvyklým Euklidovská norma, a X je tedy standardní Gaussova náhodná proměnná σ(X) = 1 a E [||X||²] = n, tak d(X) = n.
• Li B je Rⁿ s nadřazená norma, pak σ(X) = 1, ale E [||X||²] (a tedy d(X)) je v pořadí protokolu (n).

Reference

• Ledoux, Michel; Talagrand, Michel (1991), Pravděpodobnost v Banachových prostorech: izoperimetrie a procesy, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 23, Berlín: Springer-Verlag, s. 237, doi:10.1007/978-3-642-20212-4, ISBN  3-540-52013-9, PAN  1102015.
• Pisier, Gilles (1989), Objem konvexních těles a geometrie Banachova prostoru „Cambridge Tracts in Mathematics“, 94, Cambridge University Press, Cambridge, s. 42–43, doi:10.1017 / CBO9780511662454, ISBN  0-521-36465-5, PAN  1036275.