Kompaktní šablona - Compact stencil

2D kompaktní vzorník využívající všech 8 sousedních uzlů plus středový uzel (červeně).

v matematika, zejména v oblastech numerická analýza volala numerické parciální diferenciální rovnice, a kompaktní šablona je typ šablona který používá pouze devět uzlů diskretizace metoda ve dvou rozměrech. Používá pouze středový uzel a přilehlý uzly. Pro všechny strukturovaná mřížka s využitím kompaktní šablony v 1, 2 nebo 3 rozměry maximální počet uzly je 3, 9 nebo 27. Kompaktní šablony lze přirovnat k nekompaktní šablony. Kompaktní šablony jsou v současné době implementovány v mnoha parciální diferenciální rovnice řešitelé, včetně několika témat CFD, FEA a dalších matematických řešitelů týkajících se PDE.^[1][2]

Příklad dvoubodové šablony

Dvoubodový vzorník pro první derivace funkce je dána vztahem:

${displaystyle f '(x_ {0}) = {frac {fleft (x_ {0} + hight) -fleft (x_ {0} -hight)} {2h}} + Oleft (h ^ {2} ight)}$.

To se získá z Taylor série expanze první derivace funkce dané:

${displaystyle {egin {array} {l} f '(x_ {0}) = {frac {fleft (x_ {0} + hight) -f (x_ {0})} {h}} - {frac {f ^ {(2)} (x_ {0})} {2!}} H- {frac {f ^ {(3)} (x_ {0})} {3!}} H ^ {2} - {frac { f ^ {(4)} (x_ {0})} {4!}} h ^ {3} + konec cdots {pole}}}$.

Výměna ${displaystyle h}$ s ${displaystyle -h}$, my máme:

${displaystyle {egin {array} {l} f '(x_ {0}) = - {frac {fleft (x_ {0} -hight) -f (x_ {0})} {h}} + {frac {f ^ {(2)} (x_ {0})} {2!}} H- {frac {f ^ {(3)} (x_ {0})} {3!}} H ^ {2} + {frac {f ^ {(4)} (x_ {0})} {4!}} h ^ {3} + konec cdots {pole}}}$.

Sčítání výše uvedených dvou rovnic má za následek zrušení výrazů v lichých mocninách ${displaystyle h}$:

${displaystyle {egin {array} {l} 2f '(x_ {0}) = {frac {fleft (x_ {0} + hight) -f (x_ {0})} {h}} - {frac {fleft ( x_ {0} -hight) -f (x_ {0})} {h}} - 2 {frac {f ^ {(3)} (x_ {0})} {3!}} h ^ {2} + konec cdots {pole}}}$.

${displaystyle {egin {array} {l} f '(x_ {0}) = {frac {fleft (x_ {0} + hight) -fleft (x_ {0} -hight)} {2h}} - {frac { f ^ {(3)} (x_ {0})} {3!}} h ^ {2} + konec cdots {pole}}}$.

${displaystyle {egin {array} {l} f '(x_ {0}) = {frac {fleft (x_ {0} + hight) -fleft (x_ {0} -hight)} {2h}} + Oleft (h ^ {2} ight) end {array}}}$.

Příklad tříbodové šablony

Například tříbodový vzorník pro druhá derivace funkce je dána vztahem:

${displaystyle {egin {array} {l} f ^ {(2)} (x_ {0}) = {frac {fleft (x_ {0} + hight) + fleft (x_ {0} -hight) -2f (x_ {0})} {h ^ {2}}} + Oleft (h ^ {2} ight) end {array}}}$.

To se získá z Taylor série expanze první derivace funkce dané:

${displaystyle {egin {array} {l} f '(x_ {0}) = {frac {fleft (x_ {0} + hight) -f (x_ {0})} {h}} - {frac {f ^ {(2)} (x_ {0})} {2!}} H- {frac {f ^ {(3)} (x_ {0})} {3!}} H ^ {2} - {frac { f ^ {(4)} (x_ {0})} {4!}} h ^ {3} + konec cdots {pole}}}$.

Výměna ${displaystyle h}$ s ${displaystyle -h}$, my máme:

${displaystyle {egin {array} {l} f '(x_ {0}) = - {frac {fleft (x_ {0} -hight) -f (x_ {0})} {h}} + {frac {f ^ {(2)} (x_ {0})} {2!}} H- {frac {f ^ {(3)} (x_ {0})} {3!}} H ^ {2} + {frac {f ^ {(4)} (x_ {0})} {4!}} h ^ {3} + konec cdotů {pole}}}$.

Odečtení výše uvedených dvou rovnic má za následek zrušení výrazů v sudých silách ${displaystyle h}$:${displaystyle {egin {array} {l} 0 = {frac {fleft (x_ {0} + hight) -f (x_ {0})} {h}} + {frac {fleft (x_ {0} -hight) -f (x_ {0})} {h}} - 2 {frac {f ^ {(2)} (x_ {0})} {2!}} h-2 {frac {f ^ {(4)} (x_ {0})} {4!}} h ^ {3} + konec cdots {pole}}}$.

${displaystyle {egin {array} {l} f ^ {(2)} (x_ {0}) = {frac {fleft (x_ {0} + hight) + fleft (x_ {0} -hight) -2f (x_ {0})} {h ^ {2}}} - 2 {frac {f ^ {(4)} (x_ {0})} {4!}} H ^ {2} + konec cdots {pole}}}$.

${displaystyle {egin {array} {l} f ^ {(2)} (x_ {0}) = {frac {fleft (x_ {0} + hight) + fleft (x_ {0} -hight) -2f (x_ {0})} {h ^ {2}}} + Oleft (h ^ {2} ight) end {array}}}$.

Viz také

• Šablona (numerická analýza)
• Nekompaktní šablona
• Pětibodová šablona

Reference

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Kompaktní šablona"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Červenec 2008) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)