Clawsonův bod - Clawson point

Clawsonův bod ${ displaystyle P}$ tak jako homotetické centrum pro podobné trojúhelníky ${ displaystyle trojúhelník T_ {a} T_ {b} T_ {c}}$ a ${ displaystyle trojúhelník H_ {a} H_ {b} H_ {c}}$(Červené)

The Clawsonův bod je speciální bod v rovinném trojúhelníku definovaném symbolem trilineární souřadnice ${ displaystyle tan ( alpha): tan ( beta): tan ( gamma)}$^[1] (Kimberlingovo číslo X (19)), kde ${ displaystyle alpha, beta, gamma}$ jsou vnitřní úhly na vrcholech trojúhelníku ${ displaystyle A, B, C}$. Je pojmenován po John Wentworth Clawson, který ji roku 1925 publikoval v Americký matematický měsíčník.

Geometrické konstrukce

Existují alespoň dva způsoby konstrukce Clawsonova bodu, který lze také použít jako volné souřadnice bodu bez souřadnic. V obou případech máte dva trojúhelníky, kde se tři čáry spojující jejich příslušné vrcholy setkávají ve společném bodě, kterým je Clawsonův bod.

Konstrukce 1

Pro daný trojúhelník ${ displaystyle trojúhelník ABC}$ nechat ${ displaystyle trojúhelník H_ {a} H_ {b} H_ {c}}$ být jeho ortický trojúhelník a ${ displaystyle trojúhelník T_ {a} T_ {b} T_ {c}}$ trojúhelník tvořený vnějšími tečnami k jeho třem excircles. Tyto dva trojúhelníky jsou podobné a Clawsonův bod je jejich centrum podobnosti, tedy tři řádky ${ displaystyle T_ {a} H_ {a}, T_ {b} H_ {b}, T_ {c} H_ {c}}$ spojující jejich vrcholy se setkávají ve společném bodě, kterým je Clawsonův bod.^[2][3]

Stavba 2

Clawsonův bod ${ displaystyle P}$ jako perspektivní centrum perspektivních trojúhelníků ${ displaystyle trojúhelník ABC}$ a ${ displaystyle trojúhelník A'B'C '}$

Pro trojúhelník ${ displaystyle trojúhelník ABC}$ jeho circumcircle protíná každou ze svých tří excircles ve dvou bodech. Tři úsečky procházející těmito průsečíky tvoří trojúhelník ${ displaystyle trojúhelník A ^ { prime} B ^ { prime} C ^ { prime}}$. Tento trojúhelník a trojúhelník ${ displaystyle trojúhelník ABC}$ jsou perspektivní trojúhelníky, přičemž Clawsonův bod je jejich perspektivní centrum. Proto tři řádky ${ displaystyle AA ^ { prime}, BB ^ { prime}, CC ^ { prime}}$ setkat se v Clawsonově bodě.^[1]

Dějiny

Tento bod je nyní pojmenován po J. W. Clawsonovi, který publikoval jeho trilineární souřadnice 1925 v časopise American Mathematical Monthly jako problém 3132, kde požadoval geometrickou konstrukci tohoto bodu.^[4] Nicméně francouzský matematikÉmile Lemoine už bod zkoumal v roce 1886.^[5] Později bod nezávisle znovuobjevili R. Lyness a G. R. Veldkamp v roce 1983, kteří jej nazvali zásadní bod po kanadském matematickém časopise Crux Mathematicorum, ve kterém vyšel jako problém 682.^[1]

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Clawson Point“. MathWorld.
• X (19) = CLAWSON POINT und CLAWSON POINT v encyklopedii trinaglových center (ETC)
• LE POINT CLAWSON PAR LES TRIANGLES ORTHIQUES ET EXTANGENT
• Clawson Point: Orthic Triangle, Extangents Triangle, Homothecy or Homothety