Kruhové zbarvení - Circular coloring

The chromatické číslo z květina snark J₅ je 3, ale kruhové chromatické číslo je ≤ 5/2.

v teorie grafů, kruhové zbarvení lze považovat za upřesnění obvyklého zbarvení grafu. The kruhové chromatické číslo grafu ${displaystyle G}$, označeno ${displaystyle chi _ {c} (G)}$ může být dána kteroukoli z následujících definic, které jsou všechny ekvivalentní (pro konečné grafy).

1. ${displaystyle chi _ {c} (G)}$ je infimum nad všemi reálnými čísly ${displaystyle r}$ takže existuje mapa z ${displaystyle V (G)}$ na kružnici obvodu 1 s vlastností, kterou libovolné dva sousední vrcholy mapují na body ve vzdálenosti ${displaystyle geq {frac {1} {r}}}$ podél tohoto kruhu.
2. ${displaystyle chi _ {c} (G)}$ je infimum nad všemi racionálními čísly ${displaystyle {frac {n} {k}}}$ takže existuje mapa z ${displaystyle V (G)}$ do cyklické skupiny ${displaystyle mathbb {Z} / nmathbb {Z}}$ s vlastností, která sousední vrcholy mapují na prvky ve vzdálenosti ${displaystyle geq k}$ odděleně.
3. V orientovaném grafu deklarujte nerovnováha cyklu ${displaystyle C}$ být ${displaystyle | E (C) |}$ děleno minimem počtu hran nasměrovaných ve směru hodinových ručiček a počtem hran nasměrovaných proti směru hodinových ručiček. Definujte nerovnováha orientovaného grafu jako maximální nevyváženost cyklu. Nyní, ${displaystyle chi _ {c} (G)}$ je minimální nerovnováha orientace ${displaystyle G}$.

Je to relativně snadné vidět ${displaystyle chi _ {c} (G) leq chi (G)}$ (zejména pomocí 1 nebo 2), ale ve skutečnosti ${displaystyle lceil chi _ {c} (G) ceil = chi (G)}$. V tomto smyslu považujeme kruhové chromatické číslo za zpřesnění obvyklého chromatického čísla.

Kruhové zbarvení bylo původně definováno Vince (1988), který jej nazval „barvení hvězd“.

Zbarvení je u předmětu dvojí nikde nula teče a kruhové zbarvení má přirozeně dvojí představu: kruhové toky.

Kruhové kompletní grafy

Kruhový kompletní graf
Vrcholy	n
Hrany	n(n − 2k + 1) / 2
Obvod	${displaystyle left {{egin {array} {ll} infty & n = 2k n & n = 2k + 1 4 & 2k + 2leq n <3k 3 & {ext {else}} end {array}} ight.}$
Chromatické číslo	⌈N / k⌉
Vlastnosti	(n − 2k + 1)-pravidelný Vrchol-tranzitivní Oběžník Hamiltonian
Zápis	${displaystyle K_ {n / k}}$
Tabulka grafů a parametrů

Pro celá čísla ${displaystyle n, k}$ takhle ${displaystyle ngeq 2k}$, kruhový kompletní graf ${displaystyle K_ {n / k}}$ (také známý jako kruhová klika) je graf se sadou vrcholů ${displaystyle mathbb {Z} / nmathbb {Z} = {0,1, ldots, n-1}}$ a hrany mezi prvky ve vzdálenosti ${displaystyle geq k.}$To je vrchol i sousedí s:

${displaystyle i + k, i + k + 1, ldots, i + n-k {mod {n}}.}$

${displaystyle K_ {n / 1}}$ je jen kompletní graf K._n, zatímco ${displaystyle K_ {2n + 1 / n}}$ je isomorfní s graf cyklu ${displaystyle C_ {2n + 1}.}$

Kruhové zbarvení je pak podle druhé výše uvedené definice a homomorfismus do kruhového úplného grafu. Rozhodujícím faktem těchto grafů je to ${displaystyle K_ {a / b}}$ připouští homomorfismus do ${displaystyle K_ {c / d}}$ kdyby a jen kdyby ${displaystyle {frac {a} {b}} leq {frac {c} {d}}.}$ To ospravedlňuje notaci, protože pokud ${displaystyle {frac {a} {b}} = {frac {c} {d}}}$ pak ${displaystyle K_ {a / b}}$ a ${displaystyle K_ {c / d}}$ jsou homomorfně ekvivalentní. Kromě toho pořadí homomorfismu mezi nimi zpřesňuje pořadí dané úplnými grafy do a hustý řád, odpovídající racionálním číslům ${displaystyle geq 2}$. Například

${displaystyle K_ {2/1} o K_ {5/2} o K_ {7/3} o cdots o K_ {3/1} o K_ {4/1} o cdots}$

nebo ekvivalentně

${displaystyle K_ {2} o C_ {5} o C_ {7} o cdots o K_ {3} o K_ {4} o cdots}$

Příklad na obrázku lze interpretovat jako homomorfismus z květina snark J₅ do K._5/2 ≈ C₅, který přichází dříve než ${displaystyle K_ {3}}$ odpovídá skutečnosti, že ${displaystyle chi _ {c} (J_ {5}) leq 2,5 <3.}$

Viz také

• Rank zbarvení

Reference

• Nadolski, Adam (2004), „Kruhové vybarvení grafů“, Barvení grafů, Contemp. Matematika., 352„Providence, RI: Amer. Matematika. Soc., S. 123–137, doi:10.1090 / conm / 352/09, PAN  2076994.
• Vince, A. (1988), „Star chromatic number“, Journal of Graph Theory, 12 (4): 551–559, doi:10.1002 / jgt.3190120411, PAN  0968751.
• Zhu, X. (2001), "Circular chromatic number, an survey", Diskrétní matematika, 229 (1–3): 371–410, doi:10.1016 / S0012-365X (00) 00217-X, PAN  1815614.

Tento kombinatorika související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.