Kristus – Kiselev maximální nerovnost - Christ–Kiselev maximal inequality - Wikipedia

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto problémech na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) tento článek potřebuje pozornost odborníka na matematiku. Přidejte prosím důvod nebo a mluvit parametr k této šabloně pro vysvětlení problému s článkem. Matematika WikiProject může pomoci s náborem odborníka. (Červen 2014) tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby je pochopili. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Červen 2014) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

V matematice je Kristus – Kiselev maximální nerovnost je maximální nerovnost pro filtrace, pojmenovaný pro matematiky Michaela Krista a Alexandra Kiseleva.^[1]

Kontinuální filtrace

A kontinuální filtrace z ${ displaystyle (M, mu)}$ je rodina měřitelných množin ${ displaystyle {A _ { alpha} } _ { alpha in mathbb {R}}}$ takhle

1. ${ displaystyle A _ { alpha} blízko M}$, ${ displaystyle bigcap _ { alpha in mathbb {R}} A _ { alpha} = emptyset}$, a ${ displaystyle mu (A _ { beta} setminus A _ { alpha}) < infty}$ pro všechny ${ displaystyle beta> alfa}$ (stratific)
2. ${ displaystyle lim _ { varepsilon až 0 ^ {+}} mu (A _ { alpha + varepsilon} setminus A _ { alpha}) = lim _ { varepsilon až 0 ^ {+} } mu (A _ { alpha} setminus A _ { alpha + varepsilon}) = 0}$ (kontinuita)

Například, ${ displaystyle mathbb {R} = M}$ s mírou ${ displaystyle mu}$ který nemá žádné čisté body a

${ displaystyle A _ { alpha}: = { begin {cases} {| x | leq alpha }, & alpha> 0, emptyset, & alpha leq 0. end {případy }}}$

je kontinuální filtrace.

Verze kontinua

Nechat ${ Displaystyle 1 leq p$ a předpokládejme ${ displaystyle T: L ^ {p} (M, mu) až L ^ {q} (N, nu)}$ je ohraničený lineární operátor pro ${ displaystyle sigma -}$konečný ${ displaystyle (M, mu), (N, nu)}$. Definujte maximální funkci Krista – Kiseleva

${ displaystyle T ^ {*} f: = sup _ { alpha} | T (f chi _ { alpha}) |,}$

kde ${ displaystyle chi _ { alpha}: = chi _ {A _ { alpha}}}$. Pak ${ displaystyle T ^ {*}: L ^ {p} (M, mu) až L ^ {q} (N, nu)}$ je omezený operátor a

${ displaystyle | T ^ {*} f | _ {q} leq 2 ^ {- (p ^ {- 1} -q ^ {- 1})} (1-2 ^ {- (p ^ { -1} -q ^ {- 1})}) ^ {- 1} | T | | f | _ {p}.}$

Diskrétní verze

Nechat ${ Displaystyle 1 leq p$a předpokládejme ${ displaystyle W: ell ^ {p} ( mathbb {Z}) do L ^ {q} (N, nu)}$ je omezený lineární operátor pro ${ displaystyle sigma -}$konečný ${ displaystyle (M, mu), (N, nu)}$. Definovat, pro ${ displaystyle a in ell ^ {p} ( mathbb {Z})}$,

${ displaystyle ( chi _ {n} a): = { begin {cases} a_ {k}, & | k | leq n 0, & { text {jinak}}. end {cases} }}$

a ${ displaystyle sup _ {n in mathbb {Z} ^ { geq 0}} | W ( chi _ {n} a) | =: W ^ {*} (a)}$. Pak ${ displaystyle W ^ {*}: ell ^ {p} ( mathbb {Z}) do L ^ {q} (N, nu)}$ je omezený operátor.

Tady, ${ displaystyle A _ { alpha} = { begin {cases} [- alpha, alpha], & alpha> 0 emptyset, & alpha leq 0 end {cases}}}$.

Diskrétní verzi lze prokázat z verze kontinua konstrukcí ${ displaystyle T: L ^ {p} ( mathbb {R}, dx) do L ^ {q} (N, nu)}$.^[2]

Aplikace

Maximální nerovnost mezi Kristem a Kiselevem má aplikace na Fourierova transformace a konvergence Fourierova řada, jakož i ke studiu operátorů Schrödinger.^[1][2]

Reference