Chapman – Robbins vázán - Chapman–Robbins bound - Wikipedia

v statistika, Chapman – Robbins vázán nebo Hammersley – Chapman – Robbins vázán je dolní mez na rozptyl z odhady deterministického parametru. Jedná se o zobecnění Cramér – Rao vázán; ve srovnání s vazbou Cramér – Rao je přísnější a použitelnější pro širší škálu problémů. Výpočet je však obvykle obtížnější.

Vazba byla nezávisle objevena John Hammersley v roce 1950,^[1] a Douglas Chapman a Herbert Robbins v roce 1951.^[2]

Tvrzení

Nechat θ ∈ Rⁿ být neznámým, deterministickým parametrem a nechat X ∈ R^k být náhodná proměnná, interpretovaná jako měření θ. Předpokládejme funkce hustoty pravděpodobnosti z X je dána p(X; θ). Předpokládá se, že p(X; θ) je dobře definovaný a to p(X; θ) > 0 pro všechny hodnoty X a θ.

Předpokládat δ(X) je objektivní odhad libovolné skalární funkce G: Rⁿ → R z θ, tj.,

${ displaystyle operatorname {E} _ { theta} { delta (X) } = g ( theta) { text {pro všechny}} theta. ,}$

Vazba Chapman – Robbins to pak uvádí

${ displaystyle operatorname {Var} _ { theta} ( delta (X)) geq sup _ { Delta} { frac { left [g ( theta + Delta) -g ( theta) right] ^ {2}} { operatorname {E} _ { theta} left [{ tfrac {p (X; theta + Delta)} {p (X; theta)}} - 1 vpravo] ^ {2}}}.}$

Všimněte si, že jmenovatel ve spodní hranici výše je přesně ${ displaystyle chi ^ {2}}$-divergence z ${ displaystyle p ( cdot; theta + Delta)}$ s ohledem na ${ displaystyle p ( cdot; theta)}$.

Vztah k Cramér-Rao vázán

Výraz uvnitř suprema ve vazbě Chapman-Robbins konverguje k Cramér – Rao vázán když Δ → 0, za předpokladu podmínek pravidelnosti vázaného prostoru Cramér – Rao. To znamená, že když existují obě hranice, verze Chapman-Robbins je vždy přinejmenším stejně těsná jako hranice Cramér-Rao; v mnoha případech je podstatně přísnější.

Vázané Chapman-Robbins také drží za mnohem slabších podmínek pravidelnosti. Například není učiněn žádný předpoklad týkající se diferencovatelnosti funkce hustoty pravděpodobnosti p(X; θ). Když p(X; θ) je nerozlišitelný, Fisher informace není definován, a proto vazba Cramér – Rao neexistuje.

Viz také

• Cramér – Rao vázán
• Teorie odhadu

Reference

Další čtení

• Lehmann, E. L .; Casella, G. (1998), Teorie odhadu bodu (2. vyd.), Springer, str. 113–114, ISBN  0-387-98502-6