Chaplyginova rovnice - Chaplygins equation - Wikipedia

v dynamika plynů, Chaplyginova rovnice, pojmenoval podle Sergej Alekseevich Chaplygin (1902), je a parciální diferenciální rovnice užitečné při studiu transonic tok.^[1][2] to je

${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné theta ^ {2}}} + { frac {v ^ {2}} {1 - { frac {v ^ {2} } {c ^ {2}}}}} { frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné v ^ {2}}} + v { frac { částečné Phi} { částečné v} } = 0.}$

Tady, ${ displaystyle c = c (v)}$ je rychlost zvuku, určeno stavová rovnice tekutiny a zachování energie.

Derivace

Pro dvourozměrný tok potenciálu platí rovnice kontinuity a Eulerovy rovnice (ve skutečnosti stlačitelná Bernoulliho rovnice kvůli irrotationality) v kartézských souřadnicích ${ displaystyle (x, y)}$ zahrnující proměnné rychlosti tekutiny ${ displaystyle (v_ {x}, v_ {y})}$, specifická entalpie ${ displaystyle h}$ a hustota ${ displaystyle rho}$ jsou

${ displaystyle { begin {seřazeno} { frac { částečné} { částečné x}} ( rho v_ {x}) + { frac { částečné} { částečné y}} ( rho v_ {y }) & = 0, h + { frac {1} {2}} v ^ {2} & = h_ {o}. End {zarovnáno}}}$

s stavová rovnice ${ displaystyle rho = rho (s, h)}$ působí jako třetí rovnice. Tady ${ displaystyle h_ {o}}$ je stagnace entalpie, ${ displaystyle v ^ {2} = v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2}}$ je velikost vektoru rychlosti a ${ displaystyle s}$ je entropie. Pro isentropic průtok, hustotu lze vyjádřit pouze jako funkci entalpie ${ displaystyle rho = rho (h)}$, což lze pomocí Bernoulliho rovnice zapsat jako ${ displaystyle rho = rho (v)}$.

Protože tok je irrotační, je to rychlostní potenciál ${ displaystyle phi}$ existuje a jeho rozdíl je jednoduše ${ displaystyle d phi = v_ {x} dx + v_ {y} dy}$. Místo léčby ${ displaystyle v_ {x} = v_ {x} (x, y)}$ a ${ displaystyle v_ {y} = v_ {y} (x, y)}$ jako závislé proměnné použijeme takovou souřadnicovou transformaci ${ displaystyle x = x (v_ {x}, v_ {y})}$ a ${ displaystyle y = y (v_ {x}, v_ {y})}$ stát se novými závislými proměnnými. Podobně je potenciál rychlosti nahrazen novou funkcí (Legendární transformace )

${ displaystyle Phi = xv_ {x} + yv_ {y} - phi}$

takový pak je jeho rozdíl ${ displaystyle d Phi = xdv_ {x} + ydv_ {y}}$, proto

${ displaystyle x = { frac { částečné Phi} { částečné v_ {x}}}, quad y = { frac { částečné Phi} { částečné v_ {y}}}.}$

Představujeme další transformaci souřadnic pro nezávislé proměnné z ${ displaystyle (v_ {x}, v_ {y})}$ na ${ displaystyle (v, theta)}$ podle vztahu ${ displaystyle v_ {x} = proti cos theta}$ a ${ displaystyle v_ {y} = v sin theta}$, kde ${ displaystyle v}$ je velikost vektoru rychlosti a ${ displaystyle theta}$ je úhel, který vektor rychlosti vytváří s ${ displaystyle v_ {x}}$-osi, závislé proměnné se stanou

${ displaystyle { begin {aligned} x & = cos theta { frac { částečné Phi} { částečné v}} - { frac { sin theta} {v}} { frac { částečné Phi} { částečná theta}}, y & = sin theta { frac { částečná Phi} { částečná v}} + { frac { cos theta} {v}} { frac { částečné Phi} { částečné theta}}, phi & = - Phi + v { frac { částečné Phi} { částečné v}}. end {zarovnáno}}}$

Rovnice kontinuity v nových souřadnicích se stane

${ displaystyle { frac {d ( rho v)} {dv}} vlevo ({ frac { částečné Phi} { částečné v}} + { frac {1} {v}} { frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné theta ^ {2}}} pravé) + rho v { frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné v ^ {2}} } = 0.}$

Pro izentropický tok ${ displaystyle dh = rho ^ {- 1} c ^ {2} d rho}$, kde ${ displaystyle c}$ je rychlost zvuku. Pomocí Bernoulliho rovnice zjistíme

${ displaystyle { frac {d ( rho v)} {dv}} = rho left (1 - { frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} right)}$

kde ${ displaystyle c = c (v)}$. Proto máme

${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné theta ^ {2}}} + { frac {v ^ {2}} {1 - { frac {v ^ {2} } {c ^ {2}}}}} { frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné v ^ {2}}} + v { frac { částečné Phi} { částečné v} } = 0.}$

Viz také

• Rovnice Euler – Tricomi

Reference