Ceyuan haijing - Ceyuan haijing - Wikipedia

Hlavní postava dovnitř Mořské zrcadlo kruhových měření, které všechny problémy používají. Ukazuje kulaté město vepsané do pravého trojúhelníku a čtverce.

Ceyuan haijing (zjednodušená čínština : 测 圆 海 镜; tradiční čínština : 測 圓 海 鏡; pchin-jin : cè yuán hǎi jìng; lit. 'sea mirror of circle measurement') je pojednání o řešení geometrických problémů s algebrou Tian juan shu napsal matematik Li Zhi v roce 1248 v době Mongolská říše. Jedná se o sbírku 692 vzorců a 170 úloh, všechny odvozené ze stejného hlavního diagramu kulatého města zapsaného do pravého trojúhelníku a čtverce. Často zahrnují dva lidi, kteří chodí po přímkách, dokud se navzájem nevidí, nesetkají se nebo nedosáhnou stromu nebo pagody na určitém místě. Jedná se o knihu o algebraické geometrii, jejím účelem je studium složitých geometrických vztahů pomocí algebry.

Většinu problémů s geometrií řeší polynomiální rovnice, které jsou znázorněny pomocí metody zvané tian jüan šu, „metoda pole koeficientů“ nebo doslovně „metoda nebeského neznáma“. Li Zhi je nejstarším existujícím zdrojem této metody, i když před nějakou dobou byla známa. Jedná se o poziční systém číslice tyče reprezentovat polynomiální rovnice.

Ceyuan haijing byl poprvé představen na západ britským protestantským křesťanským misionářem v Číně, Alexander Wylie ve své knize Poznámky k čínské literatuře, 1902. Napsal:

První stránka má diagram kruhu obsaženého v trojúhelníku, který je členitý na 15 postav; poté je uvedena definice a poměry několika částí a následuje 170 problémů, u nichž je princip nové vědy považován za výhodu. Autor je v expozici a scholii.^[1]

Toto pojednání se skládá z 12 svazků.

Hlasitost 1

Rekonstruovaný diagram kruhového města v abecedách

Schéma kulatého města

Monografie začíná hlavním diagramem, který se nazývá Diagram Round Town (圆 城 图 式). Zobrazuje kruh vepsaný do pravoúhlého trojúhelníku a čtyři vodorovné čáry, čtyři svislé čáry.

• TLQ, velký pravoúhlý trojúhelník, s vodorovnou čárou LQ, svislou čárou TQ a přeponou TL

C: Střed kruhu:

• NCS: Svislá čára procházející C, protínající kruh a přímku LQ na N (南 severní strana hradeb), protíná jižní stranu kružnice na S (南).
• NCSR, rozšíření řádku NCS k protnutí přepony TL na R (日)
• WCE: vodorovná čára procházející středem C, protíná kruh a čáru TQ na W (西, západní strana městských hradeb) a kruh na E (东, východní strana městských hradeb).
• WCEB: prodloužení linie WCE k protnutí přepony na B (川)
• KSYV: vodorovná tečna v S, protíná přímku TQ v K (坤), přepona TL v Y (月).
• HEMV: vertikální tečna kružnice v bodě E, protíná přímku LQ v H, přepona v M (山, hora)
• HSYY, KSYV, HNQ, QSK tvoří čtverec s vepsanou kružnicí C.
• Přímka YS, svislá čára z Y protíná přímku LQ na S (泉, pružina)
• Přímka BJ, svislá čára od bodu B, protíná přímku LQ v J (夕, noc)
• RD, vodorovná čára od R, protíná čáru TQ v D (旦, den)

Směr sever, jih, východ a západ v diagramu Li Zhi jsou opačné k naší současné konvenci.

Trojúhelníky a jejich strany

Existuje celkem patnáct pravoúhlých trojúhelníků vytvořených průsečíkem mezi trojúhelníkem TLQ, čtyřmi vodorovnými čarami a čtyřmi svislými čarami.

Názvy těchto pravoúhlých trojúhelníků a jejich stran jsou shrnuty v následující tabulce

Číslo	název	Vrcholy	Přepona0C	Vertikální0b	Horizontální0A
1	ONG DLOUHÝ	天地 乾 ${ displaystyle trojúhelník TLQ}$	通 弦 （TL 天地）	通 股 （TQ 天乾）	通 勾 （LQ 地 乾）
2	边 BIAN	天 西川 ${ displaystyle trojúhelník TWB}$	边 弦 （TB 天 川）	边 股 （TW 天 西）	边 勾 （WB 西川）
3	底 DI	日 地 北 ${ displaystyle trojúhelník RDN}$	底 弦 （RL 日 地）	底 股 （RN 日 北）	底 勾 （LB 地 北）
4	广 广 HUANGGUANG	天山 金 ${ displaystyle trojúhelník TMJ}$	黄 广 弦 （TM 天山）	黄 广 股 （TJ 天 金）	黄 广 勾 （MJ 山金）
5	黄 长 HUANGCHANG	月 地 泉 ${ displaystyle trojúhelník YLS}$	黄 长 弦 （YL 月 地）	黄 长 股 （YS 月 泉）	黄 长 勾 （LS 地 泉）
6	高 高 SHANGGAO	天日 旦 ${ displaystyle trojúhelník TRD}$	上 高 弦 （TR 天日）	上 高 股 （TD 天 旦）	上 高 勾 （RD 日 旦）
7	IA 高 XIAGAO	日 山 朱 ${ displaystyle trojúhelník RMZ}$	下 高 弦 （RM 日 山）	下 高 股 （RZ 日 朱）	下 高 勾 （MZ 山 朱）
8	AN 平 ZMĚNA	月 川 青 ${ displaystyle trojúhelník YSG}$	上 平 弦 （YS 月 川）	上 平 股 （YG 月 青）	上 平 勾 （SG 川 青）
9	IA 平 XIAPING	川 地 夕 ${ displaystyle trojúhelník BLJ}$	下 平 弦 （BL 川 地）	下 平 股 （BJ 川 夕）	下 平 勾 （LJ 地 夕）
10	差 差 DACHA	天 月 坤 ${ displaystyle trojúhelník TYK}$	大 差 弦 （TY 天 月）	大 差 股 （TK 天 坤）	大 差 勾 （YK 月 坤）
11	IA 差 XIAOCHA	山地 艮 ${ displaystyle trojúhelník MLH}$	小 差 弦 （ML 山地）	小 差 股 （MH 山 艮）	小 差 勾 （LH 地 艮）
12	皇 极 HUANGJI	日 川 心 ${ displaystyle trojúhelník RSC}$	皇 极 弦 （RS 日 川）	皇 极 股 （RC 日 心）	皇 极 勾 （SC 川 心）
13	太虚 TAIXU	月 山 泛 ${ displaystyle trojúhelník YMF}$	太虚 弦 （YM 月 山）	太虚 股 （YF 月 泛）	太虚 勾 （MF 山 泛）
14	明 MING	日月 南 ${ displaystyle trojúhelník RYS}$	明 弦 （RY 日月）	明 股 （RS 日南）	明 勾 （YS 月 南）
15	叀 ZHUAN	山川 东 ${ displaystyle trojúhelník MSE}$	叀 弦 （MS 山川）	叀 股 （ME 山东）	叀 勾 （SE 川东）

V úlohách od svazku 2 do svazku 12 se názvy těchto trojúhelníků používají velmi stručně. Například

„明 差“, „rozdíl MING“ označuje „rozdíl mezi svislou stranou a vodorovnou stranou trojúhelníku MING.

„叀 差“, „rozdíl ZHUANG“ označuje „rozdíl mezi vertikální a horizontální stranou trojúhelníku ZHUANG.“

„明 差 叀 差 并“ znamená „součet rozdílu MING a rozdílu ZHUAN“${ displaystyle (b_ {14} -a_ {14}) + (b_ {15} -a_ {15})}$

Délka úseček

Tato část (今 问 正 数) uvádí délku úseček, součet a rozdíl a jejich kombinace v diagramu kruhového města, vzhledem k tomu, že poloměr r vepsané kružnice je ${ displaystyle r = 120}$ kroky ${ displaystyle a_ {1} = 320}$,${ displaystyle b_ {1} = 640}$.

13 segmentů i-tého trojúhelníku (i = 1 až 15) je:

1. Hypoteneuse ${ displaystyle c_ {i}}$
2. Horizontální ${ displaystyle a_ {i}}$
3. Vertikální ${ displaystyle b_ {i}}$
4. : 勾股 和: součet horizontálních a vertikálních ${ displaystyle a_ {i} + b_ {i}}$
5. : 勾股 校: rozdíl vertikální a horizontální ${ displaystyle b_ {i} -a_ {i}}$
6. : 勾 弦 和: součet horizontální a přepony ${ displaystyle a_ {i} + c_ {i}}$
7. : 勾 弦 校: rozdíl přepony a vodorovnosti ${ displaystyle c_ {i} -a_ {i}}$
8. : 股 弦 和: součet přepony a vertikální ${ displaystyle b_ {i} + c_ {i}}$
9. : 股 弦 校: rozdíl přepony a vertikální ${ displaystyle c_ {i} -b_ {i}}$
10. : 弦 校 和: součet rozdílu a přepony ${ displaystyle c_ {i} + (b_ {i} -a_ {i})}$
11. : 弦 校 校: rozdíl přepony a rozdíl ${ displaystyle c_ {i} - (b_ {i} -a_ {i})}$
12. : 弦 和 和: součet přepony a součet vertikální a horizontální ${ displaystyle a_ {i} + b_ {i} + c_ {i}}$
13. : 弦 和 校: rozdíl součtu vodorovných a svislých s přeponou ${ displaystyle a_ {i} + b_ {i}}$

Mezi patnácti pravoúhlými trojúhelníky jsou dvě sady stejných trojúhelníků:

${ displaystyle trojúhelník TRD}$=${ displaystyle trojúhelník RMZ}$,

${ displaystyle trojúhelník YSG}$=${ displaystyle trojúhelník BLJ}$

to je

${ displaystyle a_ {6} = a_ {7}}$;

${ displaystyle b_ {6} = b_ {7}}$;

${ displaystyle c_ {6} = c_ {7}}$;

${ displaystyle a_ {8} = a_ {9}}$;

${ displaystyle b_ {8} = b_ {9}}$;

${ displaystyle c_ {8} = c_ {9}}$;

Čísla segmentů

Existuje 15 x 13 = 195 termínů, jejich hodnoty jsou uvedeny v tabulce 1:^[2]

Tabulka segmentů 1

Definice a vzorec

Různé vzorce

^[3]

1. ${ displaystyle (c_ {1} -a_ {1}) * (c_ {1} * b_ {1})}$= ${ displaystyle 1 nad 2}$*${ displaystyle (d_ {1}) ^ {2}}$
2. ${ displaystyle a_ {10} * b_ {11}}$= ${ displaystyle 1 nad 2}$${ displaystyle (d_ {1}) ^ {2}}$
3. ${ displaystyle a_ {13} * b_ {1}}$= ${ displaystyle 1 nad 2}$${ displaystyle (d_ {1}) ^ {2}}$
4. ${ displaystyle a_ {1} * b_ {13}}$= ${ displaystyle 1 nad 2}$${ displaystyle (d_ {1}) ^ {2}}$
5. ${ displaystyle b_ {2} * b_ {15}}$= ${ displaystyle (r_ {1}) ^ {2}}$
6. ${ displaystyle a_ {14} * a_ {3}}$= ${ displaystyle (r_ {1}) ^ {2}}$
7. ${ displaystyle a_ {5} * b_ {4}}$= ${ displaystyle (d_ {1}) ^ {2}}$
8. ${ displaystyle a_ {8} * b_ {6}}$= ${ displaystyle a_ {9} * b_ {7}}$${ displaystyle = (r_ {1}) ^ {2}}$
9. ${ displaystyle (b_ {14} * c_ {14}) * (a_ {15} + c_ {15})}$= ${ displaystyle (r_ {1}) ^ {2}}$
10. ${ displaystyle c_ {6} * c_ {8}}$= ${ displaystyle c_ {7} * c_ {9})}$=${ displaystyle a_ {13} * b_ {13}}$

Pět součtů a pět rozdílů

1. ${ displaystyle a_ {2} + b_ {2} + c_ {2} = b_ {1} + c_ {1}}$^[4]
2. ${ displaystyle a_ {3} + b_ {3} + c_ {3} = a_ {1} + c_ {1}}$
3. ${ displaystyle a_ {4} + b_ {4} + c_ {4} = 2b_ {1}}$
4. ${ displaystyle a_ {5} + b_ {5} + c_ {5} = 2a_ {1}}$
5. ${ displaystyle a_ {6} + b_ {6} + c_ {6} = b_ {1}}$
6. ${ displaystyle a_ {7} + b_ {7} + c_ {7} = b_ {1}}$
7. ${ displaystyle a_ {8} + b_ {8} + c_ {8} = a_ {1}}$
8. ${ displaystyle a_ {9} + b_ {9} + c_ {9} = a_ {1}}$
9. ${ displaystyle a_ {10} + b_ {10} + c_ {10} = b_ {1} + c_ {1} -a_ {1}}$
10. ${ displaystyle a_ {11} + b_ {11} + c_ {11} = c_ {1} -b_ {1} + a_ {1}}$
11. ${ displaystyle a_ {12} + b_ {12} + c_ {12} = c_ {1}}$
12. ${ displaystyle a_ {13} + b_ {13} + c_ {13} = a_ {1} + b_ {1} -c_ {1}}$
13. ${ displaystyle a_ {14} + b_ {14} + c_ {14} = c_ {1} -a_ {1}}$
14. ${ displaystyle a_ {15} + b_ {15} + c_ {15} = c_ {1} -c_ {1}}$

• ${ displaystyle (b_ {7} -a_ {7}) + (b_ {8} -a_ {8}) + (b_ {14} -a_ {14}) + (b_ {15} -a_ {15}) = 2 * (b_ {12} -a_ {12})}$
• ${ displaystyle a_ {8} + (b_ {7} -a_ {7}) + (b_ {8} -a_ {8}) = b_ {7}}$

Li Zhi odvodil v Ceyuan haijing celkem 692 vzorců. Osm z vzorce je nesprávných, ostatní jsou správné^[5]

Od svazku 2 do svazku 12 je 170 problémů, přičemž každý problém využívá několik vybraných z těchto vzorců k vytvoření polynomiálních rovnic 2. řádu až 6. řádu. Ve skutečnosti existuje 21 problémů poskytujících polynomiální rovnici třetího řádu, 13 problémů poskytujících polynomickou rovnici 4. řádu a jeden problém poskytující polynomy 6. řádu^[6]

Svazek 2

Tento svazek začíná obecnou hypotézou^[7]

Všech následujících 170 problémů je o daných několika segmentech nebo jejich součtu nebo rozdílu, abychom našli poloměr nebo průměr kulatého města. Všechny problémy mají víceméně stejný formát; začíná otázkou, následovanou popisem algoritmu, příležitostně následovaným podrobným popisem postupu.

Devět typů vepsaného kruhu

Prvních deset problémů bylo vyřešeno bez použití Tian yuan shu. Tyto problémy souvisejí s náročnými typy vepsaného kruhu.

Otázka 1

Dva muži A a B začínají z rohu Q. A kráčí na východ 320 kroků a stojí na místě. B kráčí na jih 600 kroků a vidí B. Jaký je průměr kruhového města?

Odpověď: průměr kulatého města je 240 kroků.

Toto je problém s vepsaným kruhem spojený s ${ displaystyle trojúhelník TLQ}$

Algoritmus:${ displaystyle d = {2a_ {1} krát b_ {1} nad a_ {1} + b_ {1} + c_ {1}}}$

${ displaystyle = {2 * 320 * 600 přes 320 + 600 + { sqrt {(}} 320 ^ {2} + 600 ^ {2})} = 240}$

otázka 2

Dva muži A a B vycházejí ze Západní brány. B kráčí na východ 256 kroků, A kráčí na jih 480 kroků a vidí B. Jaký je průměr města?

Odpovězte na 240 kroků

Toto je problém s vepsaným kruhem spojený s ${ displaystyle trojúhelník TWB}$

Z tabulky 1, 256 = ${ displaystyle a_ {2}}$; 480 =${ displaystyle b_ {2}}$

Algoritmus:

${ displaystyle {2a_ {2} krát b_ {2} nad a_ {2} + b_ {2} + c_ {2}} = d}$

${ displaystyle = {2 * 256 * 480 přes 256 + 600 + { sqrt {(}} 256 ^ {+} 600 ^ {2})} = 240}$

Otázka 3

problém s vepsaným kruhem spojený s ${ displaystyle trojúhelník RDN}$

${ displaystyle {2a_ {3} krát b_ {3} nad a_ {3} + b_ {3} + c_ {3}} = d}$

Otázka 4 ： Problém vepsaného kruhu spojený s ${ displaystyle trojúhelník RSC}$

${ displaystyle {2a_ {12} krát b_ {12} nad c_ {12}} = d}$

Otázka 5 ： Problém vepsaného kruhu spojený s ${ displaystyle trojúhelník TWB}$

${ displaystyle {2a krát b nad a + b} = d}$

Otázka 6

${ displaystyle {2a_ {10} krát b_ {10} nad b_ {10} -a_ {10} + c_ {10}} = d}$

Otázka 7

${ displaystyle {2a_ {11} krát b_ {11} nad b_ {11} -a_ {11} + c_ {11}} = d}$

Otázka 8

${ displaystyle {2a_ {13} krát b_ {13} nad b_ {13} + a_ {13} -c_ {13}} = d}$

Otázka 9

${ displaystyle {2a_ {14} krát b_ {14} nad c_ {14} -a_ {14}} = d}$

Otázka 10

${ displaystyle {2a_ {15} krát b_ {15} nad c_ {15} -b_ {15}} = d}$

Tian juan shu

Ciyuan haijing vol II Problém 14 podrobný postup (草 曰)

Od úlohy 14 dále Li Zhi představil „Tian yuan one“ jako neznámou proměnnou a nastavil dva výrazy podle sekce Definice a vzorec, potom srovnejte tyto dva výrazy tian yuan shu. Poté problém vyřešil a získal odpověď.

Otázka 14:„Předpokládejme, že muž vyšel ze Západní brány a zamířil na jih na 480 kroků a narazil na strom. Pak vyšel ze severní brány na východ na 200 kroků a uviděl stejný strom. Jaký je vlastní poloměr kola?“。

Algoritmus: Nastavte poloměr jako Tian yuan, umístěte počítací tyče představující na jih 480 kroků na podlaze, odečtěte poloměr tian juanů, abyste získali

：${ displaystyle 480-x}$

元

。

Poté odečtěte tian jüan z kroků 200 na východ, abyste získali:

${ displaystyle 200-x}$

元

vynásobte tyto dva výrazy a získáte ：${ displaystyle x ^ {2} -680x + 96000}$

元

元

to je${ displaystyle x ^ {2} -680x + 96000 = 2x ^ {2}}$

tím pádem:${ displaystyle -x ^ {2} -680x + 96000 = 0}$

元

Vyřešte rovnici a získejte ${ displaystyle r = 120}$

Svazek 3

17 problémů spojených se segmentem ${ displaystyle b_ {2}}$tj. TW v ${ displaystyle trojúhelník TWB}$^[8]

The ${ displaystyle a_ {10}}$ páry s ${ displaystyle b_ {11}}$,${ displaystyle a_ {11}}$ páry s ${ displaystyle b_ {10}}$ a ${ displaystyle a_ {15}}$ páry s ${ displaystyle b_ {14}}$ v problémech se stejným počtem svazků 4. Jinými slovy například změna ${ displaystyle a_ {11}}$ problému 2 ve svazku 3 do ${ displaystyle b_ {10}}$ změní to na problém 2 ze svazku 4.^[9]

Problém č.	DÁNO	X	Rovnice
1	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle c_ {4}}$		přímý výpočet bez tian juanů
2	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle a_ {11}}$	d	${ displaystyle x ^ {2} + a_ {11} x-2b_ {2} a_ {11} = 0}$
3	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle b_ {11}}$	r	${ displaystyle x ^ {2} + b_ {2} x-b_ {2} b_ {11} = 0}$
4	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle a_ {15}}$	d	${ displaystyle x ^ {3} + a_ {15} x ^ {2} -4a_ {15} b_ {2} ^ {2} = 0}$
5	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle a_ {14}}$	d	${ displaystyle x ^ {3} - (b_ {2} -2a_ {14}) x ^ {2} + a_ {14} ^ {2} * x + a_ {14} ^ {2} * b_ {2} = 0}$
6	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle a_ {10}}$	r	${ displaystyle x ^ {2} + (b_ {2} - (b_ {2} -c_ {10})) x + b_ {2} (b_ {2} -c_ {10}) = 0}$
7	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle c_ {2}}$	r	${ displaystyle ((1/2) * c_ {2} - (1/2) * b_ {2} + b_ {2}) * x ^ {2} - (1/2) * (c_ {2} - b_ {2}) b_ {2} ^ {2} = 0}$
8	${ displaystyle b_ {2}}$， ${ displaystyle c_ {1}}$	r	${ displaystyle 2x ^ {2} + ((c_ {1} + b_ {2}) + (c_ {1} -b_ {2})) x - ((c_ {1} + b_ {2}) (c_ {1} -b_ {2}) - (c_ {1} -b_ {2}) ^ {2})) = 0}$
9	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle c_ {6}}$	r	${ displaystyle 2x ^ {2} -2 (b_ {2} -2 (b_ {2} -c_ {5})) b_ {2} = 0}$
10	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle b_ {14}}$	r	${ displaystyle x ^ {2} -2b_ {2} x + ((b_ {2} -b_ {14}) ^ {2} -b_ {14} ^ {2} = 0}$
11	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle a_ {10}}$	r	${ displaystyle (2b_ {2} -a_ {10}) x-b_ {2} a_ {10} = 0}$
12	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle c_ {15}}$	${ displaystyle b_ {15}}$	${ displaystyle x ^ {2} + (b_ {2} + c_ {15}) x-b_ {2} c_ {15} = 0}$
13	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle c_ {14}}$	${ displaystyle a_ {14}}$	${ displaystyle x ^ {4} -2 (b_ {2} -c_ {14}) x ^ {3} + (b_ {2} -c_ {14}) ^ {2} x ^ {2} + 2b_ { 2} c_ {14} ^ {2} x- (2 (b_ {2} -c_ {14}) - b_ {2})) b_ {2} c_ {14} ^ {2} = 0}$
14	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle c_ {6}}$		${ displaystyle r = { sqrt {(}} (2c_ {6} -b_ {2}) b_ {2})}$
15	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle c_ {8}}$	r	${ displaystyle -x ^ {3} -c_ {8} x ^ {2} -b_ {2} ^ {2} x + c_ {8} b_ {2} ^ {2} = 0}$
16	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle b_ {14} + c_ {14}}$		vypočítat pomocí vzorce pro vepsaný kruh
17	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle a_ {15} + c_ {15}}$		Vypočítejte pomocí vzorce pro zapsanou kružnici

Svazek 4

17 problémů ${ displaystyle a_ {3}}$a druhý segment, najděte průměr kruhového města.^[10]

。

Q	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
segment druhé čáry	${ displaystyle c_ {5}}$	${ displaystyle b_ {10}}$	${ displaystyle a_ {10}}$	${ displaystyle b_ {14}}$	${ displaystyle b_ {15}}$	${ displaystyle c_ {11}}$	${ displaystyle c_ {13}}$	${ displaystyle c_ {1}}$	${ displaystyle c_ {9}}$	${ displaystyle a_ {15}}$	${ displaystyle b_ {11}}$	${ displaystyle c_ {14}}$	${ displaystyle c_ {15}}$	${ displaystyle c_ {9}}$	${ displaystyle c_ {7}}$	${ displaystyle a_ {15} + c_ {15}}$	${ displaystyle b_ {14} + c_ {14}}$

Svazek 5

18 problémů, vzhledem k tomu${ displaystyle b_ {1}}$。^[10]

Q	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
segment druhé čáry	${ displaystyle b_ {14}}$	${ displaystyle a_ {14}}$	${ displaystyle a_ {15}}$	${ displaystyle b_ {15}}$	${ displaystyle b_ {11}}$	${ displaystyle a_ {11}}$	${ displaystyle c_ {10}}$	${ displaystyle c_ {4}}$	${ displaystyle c_ {2}}$	${ displaystyle c_ {1}}$	${ displaystyle c_ {6}}$	${ displaystyle c_ {9} -a_ {11}}$	${ displaystyle c_ {15}}$	${ displaystyle c_ {14}}$	${ displaystyle c_ {9}}$	${ displaystyle c_ {12}}$	${ displaystyle a_ {15} + b_ {14}}$	${ displaystyle c_ {13}}$

Svazek 6

18 problémů.

Q1-11，13-19 uveden${ displaystyle a_ {1}}$， A druhý úsečkový segment, najděte průměr d.^[10]

Q12 ： uveden ${ displaystyle a_ {1} + c_ {3}}$a další úsečka, najděte průměr d.

Q	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
Dáno	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1} + c_ {3}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$
Segment druhé čáry	${ displaystyle a_ {15}}$	${ displaystyle b_ {15}}$	${ displaystyle b_ {14}}$	${ displaystyle a_ {14}}$	${ displaystyle a_ {10}}$	${ displaystyle b_ {10}}$	${ displaystyle c_ {11}}$	${ displaystyle c_ {5}}$	${ displaystyle c_ {3}}$	${ displaystyle c_ {1}}$	${ displaystyle c_ {9}}$	${ displaystyle b_ {10} -c_ {6}}$	${ displaystyle c_ {14}}$	${ displaystyle c_ {15}}$	${ displaystyle c_ {6}}$	${ displaystyle c_ {12}}$	${ displaystyle a_ {15} + b_ {14}}$	${ displaystyle a_ {13}}$

Svazek 7

18 problémů, vzhledem k tomu, dva úsečky najít průměr kulatého města^[11]

Q	Dáno
1	${ displaystyle a_ {14}}$，${ displaystyle b_ {15}}$
2	${ displaystyle a_ {15}}$，${ displaystyle b_ {14}}$
3	${ displaystyle a_ {14}}$，${ displaystyle a_ {15}}$
4	${ displaystyle b_ {14}}$，${ displaystyle b_ {15}}$
5	${ displaystyle a_ {14}}$，${ displaystyle c_ {8}}$
6	${ displaystyle b_ {15}}$，${ displaystyle c_ {7}}$
7	${ displaystyle b_ {15}}$，${ displaystyle c_ {13}}$
8	${ displaystyle a_ {14}}$，${ displaystyle c_ {13}}$
9	${ displaystyle d-a_ {14}}$，${ displaystyle d-b_ {15}}$
10	${ displaystyle d-b_ {14}}$，${ displaystyle d-a_ {15}}$
11	${ displaystyle c_ {12}}$，${ displaystyle a_ {15} + b_ {14}}$
12	${ displaystyle a_ {15} + b_ {14}}$，${ displaystyle c_ {13}}$
13	${ displaystyle b_ {15} + c_ {13}}$，${ displaystyle c_ {13} -b_ {15}}$
14	${ displaystyle a_ {14} + b_ {15} + c_ {13}}$，${ displaystyle a_ {14} + b_ {15} + c_ {13} -a_ {14}}$，
15	${ displaystyle c_ {14}}$，${ displaystyle d-b_ {15}}$
16	${ displaystyle c_ {5}}$，${ displaystyle d-a_ {14}}$
17	${ displaystyle a_ {1} -a_ {14}}$，${ displaystyle b_ {1} -b_ {15}}$
18	${ displaystyle a_ {1} + a_ {14}}$，${ displaystyle b_ {1} -b_ {15}}$

Svazek 8

17 problémů, vzhledem ke třem až osem segmentům nebo jejich součtu nebo rozdílu, najde průměr kulatého města.^[12]

Q	Dáno
1	${ displaystyle a_ {14} + b_ {14}}$，${ displaystyle a_ {15} + b_ {15}}$，${ displaystyle c_ {12}}$
2	${ displaystyle a_ {14} + b_ {14}}$，${ displaystyle a_ {15} + b_ {15}}$，${ displaystyle c_ {13}}$
3	${ displaystyle (c_ {12} -a_ {12}) + (c_ {12} -b_ {12})}$，${ displaystyle d_ {14} + d_ {15}}$
4	${ displaystyle c_ {15}}$，${ displaystyle c_ {14}}$
5	${ displaystyle b_ {14} + c_ {14}}$，${ displaystyle c_ {15} + b_ {15}}$
6	${ displaystyle a_ {15} + c_ {15}}$，${ displaystyle a_ {14} + c_ {14}}$
7	${ displaystyle a_ {1} + c_ {1}}$，${ displaystyle a_ {15} + c_ {15}}$
8	${ displaystyle a_ {1} + c_ {1}}$，${ displaystyle a_ {14} + c_ {14}}$
9	${ displaystyle b_ {1} + c_ {1}}$，${ displaystyle b_ {15} + c_ {15}}$
10	${ displaystyle b_ {1} + c_ {1}}$，${ displaystyle b_ {14} + c_ {14}}$，
11	${ displaystyle b_ {14} + c_ {14}}$，${ displaystyle a_ {15} + c_ {15}}$，${ displaystyle b_ {14} + a_ {15} -c_ {13}}$
12	${ displaystyle (b_ {8} -a_ {8}) + (b_ {2} -a_ {2})}$，${ displaystyle b_ {14} + a_ {15} -c_ {13}}$
13	${ displaystyle b_ {7} -a_ {8}}$，${ displaystyle (b_ {14} -a_ {14}) + (b_ {15} -a_ {15})}$，${ displaystyle c_ {12} -d}$
14	${ displaystyle (b_ {7} -a_ {7}) + (b_ {8} -a_ {8})}$，${ displaystyle (b_ {14} -a_ {14}) + (b_ {15} -a_ {15})}$
15	${ displaystyle a_ {14} + b_ {14}}$，${ displaystyle a_ {15} + b_ {15}}$
16	${ displaystyle a_ {14} + a_ {15}}$，${ displaystyle b_ {14} + b_ {15}}$

Problém 14

Vzhledem k součtu rozdílu GAO a rozdílu MING je 161 kroků a součet rozdílu MING a rozdílu ZHUAN je 77 kroků. Jaký je průměr kulatého města?

Odpověď: 120 kroků.

Algoritmus:^[13]

Dáno

${ displaystyle (b_ {7} -a_ {7}) + (b_ {8} -a_ {8}) = 161}$

${ displaystyle (b_ {14} -a_ {14}) + (b_ {15} -a_ {15}) = 77}$

： Přidejte tyto dvě položky a vydělte 2; podle # Definice a vzorec, to se rovná rozdílu HUANGJI:

${ displaystyle (b_ {7} -a_ {7}) + (b_ {8} -a_ {8}) + (b_ {14} -a_ {14}) + (b_ {15} -a_ {15}) nad 2}$ ${ displaystyle = (b_ {12} -a_ {12})}$

${ displaystyle b_ {12} -a_ {12} =}$${ displaystyle 161 + 77 nad 2}$${ displaystyle = 119}$

Nechť Tian juan jeden jako horizontálu SHANGPING (SG):

${ displaystyle x = a_ {8}}$

${ displaystyle x + 161}$ =${ displaystyle x + (b_ {7} -a_ {7}) + (b_ {8} -a_ {8}) = a_ {8} + (b_ {7} -a_ {7}) + (b_ {8} -a_ {8})}$

${ displaystyle = b_ {7}}$ (# Definice a vzorec)

Od té doby ${ displaystyle a_ {8} + b_ {7} = c_ {12}}$ (Definice a vzorec)

${ displaystyle c_ {12} = x + b_ {7} = 2 * x + (b_ {7} -a_ {7}) + (b_ {8} -a_ {8}) = 2 * x + 161}$

${ displaystyle c_ {12} ^ {2} = (x + b_ {7}) ^ {2} = (2 * x + 161) ^ {2} = 4 * x ^ {2} + 644 * x + 25921 }$

${ displaystyle c_ {12} ^ {2} - (b_ {12} -a_ {12}) ^ {2}}$

${ displaystyle = 4 * x ^ {2} + 644 * x + 25921-}$${ displaystyle ((b_ {7} -a_ {7}) + (b_ {8} -a_ {8}) + (b_ {14} -a_ {14}) + (b_ {15} -a_ {15} )) ^ {2} přes 4}$

${ displaystyle = 4 * x ^ {2} + 644 * x + 11760 = d}$(průměr kulatého města),

${ displaystyle d ^ {2} = (4 * x ^ {2} + 644 * x + 11760) ^ {2} = 16 * x ^ {4} + 5152 * x ^ {3} + 508816 * x ^ { 2} + 15146880 * x + 138297600}$

Nyní vynásobte délku RZ ${ displaystyle 4 * x}$

${ displaystyle 4 * x * b_ {7} = 4 * x * (x + (b_ {7} -a_ {7}) + (b_ {8} -a_ {8})) = 4 * x * (x + 161) = 4 * x ^ {2} + 644 * x}$

vynásobte to čtvercem RS:

${ displaystyle d ^ {2} = 4 * x * b_ {7} * c_ {12} ^ {2} =}$${ displaystyle (4 * x ^ {2} + 644 * x) * (4 * x ^ {2} + 644 * x + 25921) =}$${ displaystyle 16 * x ^ {4} + 5152 * x ^ {3} + 518420 * x ^ {2} +16693124}$

vyrovnat výrazy pro dva ${ displaystyle d ^ {2}}$

tím pádem

${ displaystyle 16 * x ^ {4} + 5152 * x ^ {3} + 518420 * x ^ {2} + 16693124 =}$${ displaystyle 16 * x ^ {4} + 5152 * x ^ {3} + 508816 * x ^ {2} + 15146880 * x + 138297600}$

Získáváme:

${ displaystyle 9604 * x ^ {2} + 1546244 * x-138297600 = 0}$

Vyřešte to a my získáme ${ displaystyle x = a_ {8} = 64}$;

To odpovídá horizontále SHANGPING 8. trojúhelníku v # Čísla segmentů.^[14]

Svazek 9

Část I.

Problémy	daný
1	${ displaystyle a_ {12} + b_ {12} + c_ {12}}$，${ displaystyle b_ {12} -a_ {12}}$
2	${ displaystyle c_ {1}}$，${ displaystyle b_ {1} -a_ {1}}$
3	${ displaystyle c_ {1}}$，${ displaystyle a_ {10} + b_ {11}}$
4	${ displaystyle c_ {1}}$，${ displaystyle a_ {2} + b_ {3}}$

Část II

Problémy	daný
1	${ displaystyle a_ {1} + b_ {1}}$，${ displaystyle a_ {2}}$，${ displaystyle b_ {3}}$
2	${ displaystyle a_ {1} + b_ {1}}$，${ displaystyle c_ {13} + b_ {13} -a_ {13}}$，${ displaystyle c_ {13} -b_ {13} + a_ {13}}$
3	${ displaystyle a_ {1} + b_ {1}}$，${ displaystyle a_ {11} + b_ {11}}$，${ displaystyle a_ {10} + b_ {10}}$
4	${ displaystyle a_ {1} + b_ {1}}$，${ displaystyle c_ {10} -a_ {10}}$，${ displaystyle c_ {11} -b_ {11}}$
5	${ displaystyle a_ {1} + b_ {1}}$，${ displaystyle c_ {6} + c_ {8}}$，${ displaystyle c_ {6} -c_ {8}}$
6	${ displaystyle a_ {1} + b_ {1}}$，${ displaystyle c_ {10}}$，${ displaystyle c_ {11}}$
7	${ displaystyle a_ {1} + b_ {1}}$，${ displaystyle c_ {4}}$，${ displaystyle c_ {5}}$
8	${ displaystyle a_ {1} + b_ {1}}$，${ displaystyle c_ {2}}$，${ displaystyle c_ {3}}$

Svazek 10

8 problémů^[15]

Problém	Dáno
1	${ displaystyle a_ {1} + b_ {1} + c_ {1}}$，${ displaystyle c_ {1} -b_ {1}}$
2	${ displaystyle a_ {1} + b_ {1} + c_ {1}}$，${ displaystyle c_ {1} -a_ {1}}$
3	${ displaystyle a_ {1} + b_ {1} + c_ {1}}$，${ displaystyle b_ {1} -a_ {1}}$
4	${ displaystyle a_ {1} + b_ {1} + c_ {1}}$，${ displaystyle (c_ {1} -b_ {1}) + (c_ {1} -a_ {1})}$
5	${ displaystyle a_ {1} + b_ {1} + c_ {1}}$，${ displaystyle (c_ {1} -b_ {1}) + (b_ {1} -a_ {1}) + (c_ {1} -a_ {1})}$
6	${ displaystyle a_ {1} + b_ {1} + c_ {1}}$，${ displaystyle d_ {14} + d_ {15}}$
7	${ displaystyle a_ {1} + b_ {1} + c_ {1}}$，${ displaystyle c_ {12}}$
8	${ displaystyle a_ {1} + b_ {1} + c_ {1}}$，${ displaystyle c_ {13}}$