Cayley – Menger determinant - Cayley–Menger determinant

v lineární algebra, geometrie, a trigonometrie, Cayley – Menger determinant je vzorec pro obsah, tj. vyšší dimenzi objem, a ${ textstyle n}$-dimenzionální simplexní ve smyslu čtverců všech vzdálenosti mezi páry jeho vrcholů. Determinant je pojmenován po Arthur Cayley a Karl Menger.

Definice

Nechat ${ textstyle A_ {0}, A_ {1}, ldots, A_ {n}}$ být ${ displaystyle n + 1}$ bodů v ${ displaystyle k}$-dimenzionální Euklidovský prostor, s ${ displaystyle k geq n}$^[A]. Tyto body jsou vrcholy n-dimenzionální simplex: trojúhelník, když ${ displaystyle n = 2}$; čtyřstěn, když ${ displaystyle n = 3}$, a tak dále. Nechat ${ textstyle d_ {ij}}$ být vzdálenosti mezi vrcholy ${ displaystyle A_ {i}}$ a ${ textstyle A_ {j}}$. Obsah, tj n-rozměrný objem tohoto simplexu, označený ${ displaystyle v_ {n}}$, lze vyjádřit jako funkci determinanty určitých matic takto:^[1]

$${ displaystyle { begin {aligned} v_ {n} ^ {2} & = { frac {1} {(n!) ^ {2} 2 ^ {n}}} { begin {vmatrix} 2d_ {01 } ^ {2} & d_ {01} ^ {2} + d_ {02} ^ {2} -d_ {12} ^ {2} & cdots & d_ {01} ^ {2} + d_ {0n} ^ {2 } -d_ {1n} ^ {2} d_ {01} ^ {2} + d_ {02} ^ {2} -d_ {12} ^ {2} & 2d_ {02} ^ {2} & cdots & d_ {02} ^ {2} + d_ {0n} ^ {2} -d_ {2n} ^ {2} vdots & vdots & ddots & vdots d_ {01} ^ {2} + d_ {0n} ^ {2} -d_ {1n} ^ {2} & d_ {02} ^ {2} + d_ {0n} ^ {2} -d_ {2n} ^ {2} & cdots & 2d_ {0n} ^ {2} end {vmatrix}} [10pt] & = { frac {(-1) ^ {n + 1}} {(n!) ^ {2} 2 ^ {n}}} { začátek {vmatrix} 0 & d_ {01} ^ {2} & d_ {02} ^ {2} & cdots & d_ {0n} ^ {2} & 1 d_ {01} ^ {2} & 0 & d_ {12} ^ {2} & cdots & d_ {1n} ^ {2} & 1 d_ {02} ^ {2} & d_ {12} ^ {2} & 0 & cdots & d_ {2n} ^ {2} & 1 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & vdots d_ {0n} ^ {2} & d_ {1n} ^ {2} & d_ {2n} ^ {2} & cdots & 0 & 1 1 & 1 & 1 & cdots & 1 & 0 end {vmatrix }}. end {zarovnáno}}}$$

To je Cayley – Menger determinant. Pro ${ displaystyle n = 2}$ to je symetrický polynom v ${ displaystyle d_ {ij}}$a je tedy neměnný pod permutací těchto veličin. To selže pro ${ displaystyle n> 2}$, ale pod permutací vrcholů je vždy invariantní^[b].

Důkaz o druhé rovnici lze nalézt.^[2] Z druhé rovnice lze první odvodit pomocí základní operace s řádky a sloupci:

${ displaystyle { begin {vmatrix} 0 & d_ {01} ^ {2} & d_ {02} ^ {2} & cdots & d_ {0n} ^ {2} & 1 d_ {01} ^ {2} & 0 & d_ {12 } ^ {2} & cdots & d_ {1n} ^ {2} & 1 d_ {02} ^ {2} & d_ {12} ^ {2} & 0 & cdots & d_ {2n} ^ {2} & 1 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & vdots d_ {0n} ^ {2} & d_ {1n} ^ {2} & d_ {2n} ^ {2} & cdots & 0 & 1 1 & 1 & 1 & cdots & 1 & 0 end {vmatrix}} = { begin {vmatrix} 0 a 0 & 0 & cdots & 0 & 1 0 & -2d_ {01} ^ {2} & d_ {12} ^ {2} -d_ {02} ^ {2} -d_ {01} ^ {2} & cdots & d_ {1n} ^ {2} -d_ {0n} ^ {2} -d_ {01} ^ {2} & 0 0 & d_ {12} ^ {2} -d_ { 01} ^ {2} -d_ {02} ^ {2} & - 2d_ {02} ^ {2} & cdots & d_ {2n} ^ {2} -d_ {0n} ^ {2} -d_ {02} ^ {2} & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & vdots 0 & d_ {1n} ^ {2} -d_ {01} ^ {2} -d_ {0n} ^ { 2} & d_ {2n} ^ {2} -d_ {02} ^ {2} -d_ {0n} ^ {2} & cdots & -2d_ {0n} ^ {2} & 0 1 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0 end {vmatrix}}}$poté vyměňte první a poslední sloupec a získáte a ${ displaystyle -1}$a vynásobte každou z nich ${ displaystyle n}$ vnitřní řádky o ${ displaystyle -1}$.

Zobecnění na hyperbolickou a sférickou geometrii

Existují sférická a hyperbolická zevšeobecnění.^[3] Důkaz naleznete zde.^[4]

V sférický prostor dimenze ${ displaystyle (n-1)}$ a konstantní zakřivení ${ displaystyle 1 / R}$, jakýkoli ${ displaystyle (n + 1)}$ body uspokojit

${ displaystyle { begin {vmatrix} 0 & f (d_ {01}) & f (d_ {02}) & cdots & f (d_ {0n}) & 1 f (d_ {01}) & 0 & f (d_ {12}) & cdots & f (d_ {1n}) & 1 f (d_ {02}) & f (d_ {12}) & 0 & cdots & f (d_ {2n}) & 1 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & vdots f (d_ {0n}) & f (d_ {1n}) & f (d_ {2n}) & cdots & 0 & 1 1 & 1 & 1 & cdots & 1 & { frac {1} {2R ^ { 2}}} end {vmatrix}} = 0}$

kde ${ displaystyle f (d) = 2R ^ {2} vlevo (1- cos { frac {d} {R}} vpravo)}$, a ${ displaystyle d_ {ij}}$ je sférická vzdálenost mezi body ${ displaystyle i, j}$.

V hyperbolický prostor dimenze ${ displaystyle (n-1)}$ a konstantní zakřivení ${ displaystyle -1 / R}$, jakýkoli ${ displaystyle (n + 1)}$ body uspokojit

${ displaystyle { begin {vmatrix} 0 & f (d_ {01}) & f (d_ {02}) & cdots & f (d_ {0n}) & 1 f (d_ {01}) & 0 & f (d_ {12}) & cdots & f (d_ {1n}) & 1 f (d_ {02}) & f (d_ {12}) & 0 & cdots & f (d_ {2n}) & 1 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & vdots f (d_ {0n}) & f (d_ {1n}) & f (d_ {2n}) & cdots & 0 & 1 1 & 1 & 1 & cdots & 1 & - { frac {1} {2R ^ {2}}} end {vmatrix}} = 0}$

kde ${ displaystyle f (d) = 2R ^ {2} left ( cosh { frac {d} {R}} - 1 right)}$, a ${ displaystyle d_ {ij}}$ je hyperbolická vzdálenost mezi body ${ displaystyle i, j}$.

Příklad

V případě ${ displaystyle n = 2}$, máme to ${ displaystyle v_ {2}}$ je plocha a trojúhelník a tím to označíme ${ displaystyle A}$. Podle Cayley – Mengerova determinantu, kde má trojúhelník boční délky ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$ a ${ displaystyle c}$,

${ displaystyle { begin {aligned} 16A ^ {2} & = { begin {vmatrix} 2a ^ {2} & a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} a ^ {2 } + b ^ {2} -c ^ {2} & 2b ^ {2} end {vmatrix}} [8pt] & = 4a ^ {2} b ^ {2} - (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2} [6pt] & = (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2} -2 (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4}) [6pt] & = (a + b + c) (a + bc) (a-b + c) (- a + b + c) end {zarovnáno}}}$

Výsledek ve třetím řádku je způsoben Fibonacciho identita. Poslední řádek lze přepsat a získat Heronův vzorec pro oblast trojúhelníku daného třemi stranami, která byla známa Archimédovi před.^[5]

V případě ${ displaystyle n = 3}$, množství ${ displaystyle v_ {3}}$ dává objem a čtyřstěn, což budeme označovat ${ displaystyle V}$. Pro vzdálenosti mezi ${ displaystyle A_ {i}}$ a ${ displaystyle A_ {j}}$ dána ${ displaystyle d_ {ij}}$dává Cayley – Mengerův determinant^[6][7]

${ displaystyle { begin {aligned} 144V ^ {2} = {} & { frac {1} {2}} { begin {vmatrix} 2d_ {01} ^ {2} & d_ {01} ^ {2} + d_ {02} ^ {2} -d_ {12} ^ {2} & d_ {01} ^ {2} + d_ {03} ^ {2} -d_ {13} ^ {2} d_ {01} ^ {2} + d_ {02} ^ {2} -d_ {12} ^ {2} & 2d_ {02} ^ {2} & d_ {02} ^ {2} + d_ {03} ^ {2} -d_ { 23} ^ {2} d_ {01} ^ {2} + d_ {03} ^ {2} -d_ {13} ^ {2} & d_ {02} ^ {2} + d_ {03} ^ {2 } -d_ {23} ^ {2} & 2d_ {03} ^ {2} end {vmatrix}} [8pt] = {} & 4d_ {01} ^ {2} d_ {02} ^ {2} d_ { 03} ^ {2} + (d_ {01} ^ {2} + d_ {02} ^ {2} -d_ {12} ^ {2}) (d_ {01} ^ {2} + d_ {03} ^ {2} -d_ {13} ^ {2}) (d_ {02} ^ {2} + d_ {03} ^ {2} -d_ {23} ^ {2}) [6pt] & {} - d_ {01} ^ {2} (d_ {02} ^ {2} + d_ {03} ^ {2} -d_ {23} ^ {2}) ^ {2} -d_ {02} ^ {2} ( d_ {01} ^ {2} + d_ {03} ^ {2} -d_ {13} ^ {2}) ^ {2} -d_ {03} ^ {2} (d_ {01} ^ {2} + d_ {02} ^ {2} -d_ {12} ^ {2}) ^ {2}. end {zarovnáno}}}$

Nalezení poloměru simplexu

Vzhledem k nedegenerovanému n-simplexu má ohraničenou n-sféru s poloměrem ${ displaystyle r}$. Pak (n + 1) -simplex vytvořený z vrcholů n-simplexu a středu n-koule je zdegenerovaný. Takže máme

${ displaystyle { begin {vmatrix} 0 & r ^ {2} & r ^ {2} & r ^ {2} & cdots & r ^ {2} & 1 r ^ {2} & 0 & d_ {01} ^ {2} & d_ { 02} ^ {2} & cdots & d_ {0n} ^ {2} & 1 r ^ {2} & d_ {01} ^ {2} & 0 & d_ {12} ^ {2} & cdots & d_ {1n} ^ { 2} & 1 r ^ {2} & d_ {02} ^ {2} & d_ {12} ^ {2} & 0 & cdots & d_ {2n} ^ {2} & 1 vdots & vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & vdots r ^ {2} & d_ {0n} ^ {2} & d_ {1n} ^ {2} & d_ {2n} ^ {2} & cdots & 0 & 1 1 & 1 & 1 & 1 & cdots & 1 & 0 end {vmatrix}} = 0}$

Zejména když ${ displaystyle n = 2}$, to dává poloměr trojúhelníku, pokud jde o jeho délky hran.

Viz také

• Geometrie vzdálenosti

Poznámky

Reference