Stabilita Cauchy – Rassias - Cauchy–Rassias stability

Klasický problém Stanislaw Ulam v teorii funkční rovnice je následující: Kdy je pravda, že funkce, která přibližně splňuje a funkční rovnice E musí být blízké přesnému řešení E? V roce 1941 odpověděl Donald H. Hyers na tuto otázku v kontextu Banachových prostorů částečnou kladnou odpovědí. Jednalo se o první významný průlom a krok směrem k dalším studiím v této oblasti výzkumu. Od té doby bylo publikováno velké množství článků v souvislosti s různými zevšeobecněním Ulamova problému a Hyersovy věty. V roce 1978 Themistocles M. Rassias se podařilo rozšířit Hyersovu větu zvážením neomezeného Cauchyho rozdílu. Byl prvním, kdo dokázal stabilitu lineárního mapování v Banachových prostorech. V roce 1950 T. Aoki poskytl důkaz zvláštního případu Rassiasova výsledku, když je daná funkce aditivní. Pro rozsáhlou prezentaci stability funkčních rovnic v kontextu Ulamova problému je čtenáři, o který se zajímá, odkazováno v nedávné knize S.-M. Jung, publikováno Springer, New York, 2011 (viz odkazy níže).

Čt. Věta M. Rassiase přilákala řadu matematiků, kteří začali být stimulováni k výzkumu v teorii stability funkční rovnice. Vzhledem k velkému vlivu S. M. Ulam, D. H. Hyers a Čt. M. Rassias o studiu problémů stability funkčních rovnic se tento koncept nazývá Stabilita Hyers – Ulam – Rassias.

Ve zvláštním případě, kdy Ulamův problém přijme řešení pro Cauchyova funkční rovnice F(X + y) = F(X) + F(y), rovnice E prý uspokojuje Stabilita Cauchy – Rassias. Název je odkazován Augustin-Louis Cauchy a Themistocles M. Rassias.

Reference

• P. M. Pardalos, P. G. Georgiev a H. M. Srivastava (eds.), Nelineární analýza. Stabilita, aproximace a nerovnosti. Na počest Themistocles M. Rassias u příležitosti jeho 60. narozenin, Springer, New York, 2012.
• D. H. Hyers, O stabilitě lineární funkční rovnice, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 27(1941), 222-224.
• Čt. M. Rassias, O stabilitě lineárního mapování v Banachových prostorech, Proceedings of the American Mathematical Society 72 (1978), 297-300. [Přeloženo do čínštiny a publikováno v: Matematický pokrok v překladu, Čínská akademie věd 4 (2009), 382-384.]
• Čt. M. Rassias, O stabilitě funkčních rovnic a problému Ulama Acta Applicandae Mathematicae, 62(1)(2000), 23-130.
• S.-M. Jung, Hyers-Ulam-Rassias Stabilita funkčních rovnic v nelineární analýze, Springer, New York, 2011, ISBN  978-1-4419-9636-7.
• T. Aoki, O stabilitě lineární transformace v Banachových prostorech J. Math. Soc. Japonsko, 2(1950), 64-66.
• C.-G. Park, Zobecněné kvadratické mapování v několika proměnných, Nelineární Anal., 57(2004), 713–722.
• J.-R. Lee a D.-Y. Holeň, Na Cauchy-Rassiasově stabilitě zobecněné aditivní funkční rovnice J. Math. Anální. Appl. 339(1)(2008), 372–383.
• C. Baak, Cauchy - Rassiasova stabilita Cauchy-Jensenova aditivního mapování v Banachových prostorech Acta Math. Sinica (anglická řada), 15(1)(1999), 1-11.
• C.-G. Park, Homomorfismy mezi Lie JC * - algebry a Cauchy - Rassiasova stabilita Lie JC * - derivace algebry, J. Lie Theory, 15(2005), 393–414.
• J.-R. Lee, D.-Y. Holeň, O Cauchy-Rassiasově stabilitě Trifovy funkční rovnice v C * -algebrách. J. Math. Anální. Appl. 296(1)(2004), 351–363.
• C. Baak, H. - Y. Chu a M. S. Moslehian, Na Cauchy-Rassiasově nerovnosti a lineárním n – vnitřním produktu zachovávajícím mapování, Math. Nerovné. Appl. 9(3)(2006), 453–464.
• C.-G. Park, M. Eshaghi Gordji a H. Khodaei, Přístup s pevným bodem ke stabilitě Cauchy-Rassiasova kvadraticko-kvadratického mapování obecného typu Jensen Bull. Korejská matematika. Soc. 47(2010), č. 5, 987–996
• A. Najati, Stabilita homomorfismů Cauchy-Rassiase spojená s funkční rovnicí typu Pexiderized Cauchy-Jensen J. Math. Nerovné. 3(2)(2009), 257-265.
• C.-G. Park a S. Y. Jang, Cauchy-Rassiasova stabilita seskvilineárních n-kvadratických mapování v Banachových modulech, Rocky Mountain J. Math. 39(6)(2009), 2015–2027.
• Pl. Kannappan, Funkční rovnice a nerovnosti s aplikacemiSpringer, New York, 2009, ISBN  978-0-387-89491-1.
• P. K. Sahoo a Pl. Kannappan, Úvod do funkčních rovnic, CRC Press, Chapman & Hall Book, Florida, 2011, ISBN  978-1-4398-4111-2.
• Čt. M. Rassias a J. Brzdek (eds.), Funkční rovnice v matematické analýze, Springer, New York, 2012, ISBN  978-1-4614-0054-7.