Rozptyl nosiče - Carrier scattering

Mezi typy defektů patří volná místa atomů, adatomy, kroky a zlomy, které se nejčastěji vyskytují na površích v důsledku konečné velikosti materiálu způsobující diskontinuitu krystalů. Společné jsou všechny typy vad, ať už povrchové nebo hromadné, které produkují visící dluhopisy které mají specifické hladiny energie elektronů odlišné od těch ve velkém. K tomuto rozdílu dochází, protože tyto stavy nelze periodicky popsat Bloch vlny v důsledku změny potenciální energie elektronů způsobené chybějícími iontovými jádry těsně mimo povrch. Jedná se tedy o lokalizované stavy, které vyžadují samostatná řešení Schrödingerovy rovnice, aby bylo možné správně popsat elektronové energie. Přerušení periodicity má za následek pokles vodivosti v důsledku rozptyl vady.

Úrovně elektronické energie polovodičových visících dluhopisů

Obrázek 1: Harrisonův energetický diagram energií elektronů v různých fázích formování Si krystalu. Vertikální osa je energie. Orbitaly 3s a 3p hybridizují na jediném atomu Si, což je energeticky nepříznivé, protože elektrony 2 3s získávají více energie než 2 3p elektrony ztrácejí. Příznivá tvorba dimeru tvoří vazebné (b) a anti-vazebné (b *) stavy, které nakonec vedou ke ztrátě čisté energie a následné přidání atomu vytváří vodivostní pásy (CB) a valenční pásma (VB). Stavy visících vazeb (db) jsou ekvivalentní chybějícím sp³ pouto.

Jednodušší a kvalitativnější způsob stanovení úrovní energie visící vazby je pomocí Harrisonových diagramů.^[1][2] Kovy mají nesměrovou vazbu a malé Délka debye což díky jejich nabité povaze činí visící pouta bezvýznamnými, pokud je lze dokonce považovat za existující. Polovodiče jsou dielektrika takže elektrony se mohou cítit a být uvězněni při poruchových energetických stavech. Energetické hladiny těchto stavů jsou určeny atomy, které tvoří pevnou látku. Obrázek 1 ukazuje Harissonův diagram pro elementární polovodič Si. Zleva doprava s-orbitální a p-orbitální hybridizace podporuje sp³ lepení, které při více sp³ Si-Si dimery jsou kombinovány za vzniku pevné látky, definují vodivostní a valenční pásma. Pokud by existovalo volné místo, jako například na každém atomu na rozhraní pevná látka / vakuum, vedlo by to k alespoň jednomu zlomenému sp³ vazba, která má energii rovnající se energii jednotlivých samostatně hybridizovaných atomů Si, jak je znázorněno na obrázku 1. Tato energie odpovídá zhruba středu pásma Si, ~ 0,55 eV nad valenčním pásmem. Jistě je to nejideálnější případ, zatímco situace by byla jiná, kdyby pasivace dluhopisů (viz níže) a povrchová rekonstrukce měly například nastat. Energie těchto stavů lze experimentálně určit pomocí absorpční spektroskopie nebo Rentgenová fotoelektronová spektroskopie například pokud je citlivost přístroje a / nebo hustota vady dostatečně vysoká.

Obrázek 2: Harrisonův diagram elektronové energie pro III-IV složené polovodičové GaAs. Stejně jako u Si je krystal vyroben přidáním hybridizovaných dimerů GaAs. Protože volná místa způsobují, že Ga visící pouta formují státy poblíž CB. Volná místa Ga produkují jako visící pouta s energiemi poblíž VB. VB je vyroben primárně ze stavů „As-like“, protože ionicita umisťuje elektrony na atomy As a v důsledku toho jsou stavy CB „Ga-like“.

Složené polovodiče, jako například GaA, mají visící vazebné stavy, které jsou blíže k okrajům pásma (viz obrázek 2). Jak se vazba stává stále více iontovou, mohou tyto stavy dokonce působit jako dopující látky. To je příčinou dobře známé obtížnosti dopingu typu GaN p, kde je N volných míst hojná kvůli vysokému tlaku par, který vede k vysoké hustotě visícího Ga. Tyto stavy jsou blízko okraje pásma vodivosti, a proto fungují jako dárci. Když jsou zavedeny akceptorové látky typu p, jsou okamžitě kompenzovány volnými místy N. U těchto mělkých stavů je jejich léčba často považována za analogii k atomu vodíku, jak je uvedeno níže pro případ volných míst aniontů nebo kationtů (efektivní hmotnost díry, m *, pro kation a elektron m * pro aniontová volná místa). Vazebná energie, E_C-E_db, je
${displaystyle E_ {c} -E_ {db} = U + KE = {frac {1} {2}} U ;; (1)}$
kde U = -q²/ (4πεε_rr) je elektrostatický potenciál mezi elektronem zabírajícím visící vazbu a jeho iontovým jádrem s ε, konstanta permitivity volného prostoru, ε_r, relativní permitivita ar separace jádra elektron-ion. Zjednodušení, že energie translace elektronů, KE = -U / 2, je způsobeno viriální věta pro centrosymmetrické potenciály. Jak je popsáno v Bohrův model, r podléhá kvantizaci
${displaystyle nlambda = 2pi r ;; (2)}$.
Moment hybnosti elektronu je p = mv = h / λ takový
${displaystyle KE = {frac {p ^ {2}} {2m ^ {*}}} = {frac {h ^ {2} n ^ {2}} {8m ^ {*} pi ^ {2} r ^ { 2}}} = - {frac {U} {2}} = {frac {q ^ {2}} {8pi varepsilon varepsilon _ {r} r}} ;; (3)}$
což má za následek
${displaystyle r = {frac {4pi hbar ^ {2} n ^ {2} varepsilon varepsilon _ {r}} {q ^ {2} m ^ {*}}} ;; (4)}$
a
${displaystyle E_ {c} -E_ {db} = {frac {U} {2}} = {frac {m ^ {*} q ^ {4}} {8h ^ {2} (varepsilon varepsilon _ {r}) ^ {2}}} ;; (5)}$.
Toto ošetření ztrácí přesnost, protože vady mají sklon od obou okrajů pásma.

Rozptyl vad

Hladiny energie visící vazby jsou vlastní hodnoty vlnových funkcí, které popisují elektrony v blízkosti defektů. Při typické úvaze o rozptylu nosiče to odpovídá konečnému stavu v Fermiho zlaté pravidlo frekvence rozptylu:
${displaystyle S_ {k'k} = {frac {2pi} {hbar}} | | ^ {2} delta (E_ {f} -E_ {i}) ;; (6)}$
přičemž H 'je parametr interakce a Diracova delta funkce, 8 (E_F-E_i), s uvedením elastický rozptyl. Jednoduchý vztah 1 / τ = Σ_{k ', k} S_k'k dělá to užitečnou rovnicí pro charakterizaci vlastností transportu materiálu při použití ve spojení s σ = ne²τ / m * a Matthiessenova vláda začlenit další procesy rozptylu.

Hodnota S._k'k je primárně určen parametrem interakce, H '. Tento termín se liší v závislosti na tom, zda jsou uvažovány mělké nebo hluboké stavy. Pro mělké stavy je H 'perturbační člen předefinovaného hamiltonovského H = H_Ó+ H ', s H_Ó mající vlastní hodnotu energie E_i. Matice pro tento případ je ^[3]
${displaystyle equiv M_ {k'k} = {frac {1} {V}} int d {ar {r}} H'e ^ {i {ar {r}} ({ar {k}} - {ar {k}} ')} = {frac {1} {V}} součet _ {ar {q}} int d {ar {r}} H_ {ar {q}} e ^ { i {ar {r}} ({ar {k}} - {ar {k}} '+ {ar {q}})}} = {frac {1} {V}} součet _ {ar {q}} H_ {ar {q}} delta _ {{ar {k}} - {ar {k}} '}, _ {ar {q}} = {frac {1} {V}} H_ {ar {q}}; ; (7)}$
kde k 'je konečný stavový vlnovod, jehož hodnota je pouze jedna, protože hustota vady je dostatečně malá na to, aby netvořila pásy (~ <10¹⁰/cm²). Použití Poissonovy rovnice pro Fourierovy periodické bodové náboje,
${displaystyle abla ^ {2} V ({ar {r}}) = {frac {-edelta ({ar {r}})} {varepsilon varepsilon _ {r}}} = - součet _ {ar {q}} {ar {q}} ^ {2} V_ {ar {q}} e ^ {i {ar {q}} {ar {r}}} = {frac {-e} {Vvarepsilon varepsilon _ {r}}} součet _ {ar {q}} e ^ {i {ar {q}} {ar {r}}} ;; (8)}$,
dává Fourierův koeficient potenciálu z visící vazby V_q= e / (q²εε_rV) kde V je objem. Výsledkem je
${displaystyle H_ {ar {q}} = - eV_ {ar {q}} = {frac {-e ^ {2}} {{ar {q}} ^ {2} varepsilon varepsilon _ {r} V}} = {frac {-e ^ {2}} {({ar {q}} ^ {2} + q_ {s} ^ {2}) varepsilon varepsilon _ {r} V}} ;; (9)}$
kde q_s je Délka debye korekce vlnovodu kvůli screeningu náboje. Pak je frekvence rozptylu
${displaystyle {frac {1} {au}} = součet _ {{ar {k}} ', {ar {k}}} S _ {{ar {k}}' {ar {k}}} = nsum _ { ar {k}} {frac {2pi} {hbar}} {frac {e ^ {4} delta (E_ {ar {k}} - E _ {{ar {k}} '})}} {varepsilon varepsilon _ {r } V [{ar {q}} ^ {2} -q_ {s} ^ {2}] ^ {2}}} = {frac {ne ^ {4}} {4pi ^ {2} hbar varepsilon varepsilon _ { r}}} int int int dkd heta dphi {frac {k ^ {2} sin heta; delta (E_ {ar {k}} - E _ {{ar {k}} '}))} {[{ar {q} } ^ {2} -q_ {s} ^ {2}] ^ {2}}} ;; (10)}$
kde n je objemová hustota vady. Provedení integrace s využitím | k | = | k '|, dává
${displaystyle {frac {1} {au}} = {frac {ne ^ {4}} {2pi {sqrt {2m ^ {*} (E_ {c} -E_ {db})}} hbar ^ {2} varepsilon varepsilon _ {r}}} vlevo ({frac {1} {q_ {s} ^ {2}}} - {frac {1} {q_ {s} ^ {2} + {frac {8m ^ {*} ( E_ {c} -E_ {db})} {hbar ^ {2}}}}} vpravo) ;; (11)}$.
Výše uvedená léčba klesá, když vady nejsou periodické, protože potenciály visících vazeb jsou reprezentovány Fourierovou řadou. Zjednodušení součtu faktorem n v Eq (10) bylo možné pouze kvůli nízké hustotě defektů. Pokud by každý atom (nebo případně každý druhý) měl mít jednu visící vazbu, což je pro nerekonstruovaný povrch docela rozumné, musí se provést také integrál na k '. Vzhledem k použití teorie poruch při definování interakční matice předpokládá výše uvedené malé hodnoty H 'nebo mělké defektní stavy blízko okrajů pásma. Samotné zlaté pravidlo Fermiho je naštěstí celkem obecné a lze jej použít pro defekty hlubokého stavu, pokud je interakce mezi vodivým elektronem a defektem dostatečně dobře pochopena pro modelování jejich interakce do operátoru, který nahradí H '.

Experimentální měření

Obrázek 3: (Nahoře) Pro získání rychlosti rozptylu nosné a visící energie vazby lze použít jednoduché rozmítání zdroje a odběru napětí s rostoucí hustotou defektů (červená křivka s více defekty). (Dole) Teplotní závislost měrného odporu. Téměř absolutní nula se odhalí váha defektů na rozptylu nosiče.

Stanovení rozsahu těchto visících vazeb na elektrický transport lze experimentálně pozorovat docela snadno. Zametením napětí na vodiči (obrázek 3), odporem a definovanou geometrií lze určit vodivost vzorku. Jak již bylo zmíněno, σ = ne²τ / m *, kde τ lze určit s vědomím n a m * z polohy Fermiho hladiny a struktury materiálového pásma. Tato hodnota bohužel obsahuje efekty z jiných rozptylových mechanismů, například kvůli fononům. To získá užitečnost, když se měření použije spolu s Eq (11), kde sklon grafu 1 / τ proti n činí E_C-E_db vypočítatelné a průsečík určuje 1 / τ ze všech procesů rozptylu kromě defektů. To vyžaduje předpoklad, že rozptyl fononů (mimo jiné i možná zanedbatelné procesy) je nezávislý na koncentraci defektů.
V podobném experimentu lze pouze snížit teplotu vodiče (obrázek 3) tak, aby hustota fononu klesla na zanedbatelnou hodnotu, což umožní dominantní rezistivitu defektu. V tomto případě σ = ne²τ / m * lze použít k přímému výpočtu τ pro rozptyl defektů.

Pasivace

Obrázek 4: Vodíková pasivace tranzistoru Si-oxid kovu-polovodičového pole s efektem pole (MOSFET) pro redukci Si / SiO₂ stavy rozhraní. Vodíkové vazby na Si plně uspokojují sp³ hybridizace zajišťující obsazení poruchového stavu zabraňující rozptylu nosiče do těchto stavů.

Povrchové defekty lze vždy „pasivovat“ atomy, aby cíleně obsadily odpovídající energetické úrovně, aby se vodivé elektrony nemohly rozptýlit do těchto stavů (účinně klesá n v Eq (10)). Například pasivace Si na rozhraní kanál / oxid a MOSFET s vodíkem (obrázek 4) je typický postup, který pomáhá snížit ~ 10¹⁰ cm⁻² hustota vady až o faktor 12^[4] čímž zlepšuje mobilitu a tím i rychlost přepínání. Odstranění zprostředkujících stavů, které by jinak snížily tunelové bariéry, také snižuje svodový proud brány a zvyšuje kapacitu brány i přechodovou odezvu. Výsledkem je, že Si sp³ lepení je plně uspokojeno. Zjevným požadavkem je zde schopnost polovodiče oxidovat pasivující atom nebo E_C-E_db + χ> E._Já, s polovodičem elektronová afinita χ a atom ionizační energie E_Já.

Phononův rozptyl

Nyní považujeme rozptyl nosiče s mřížkovými deformacemi za termín fonony. Zvažte objemový posun, který produkuje šířící se vlna, ${displaystyle Delta V_ {0}}$, což následně vede k časově závislému namáhání, ${displaystyle Delta V_ {0} / V_ {0} = igtriangledown u (r, t)}$ kde se k popisu šíření fononu používá jednoduchá rovinná vlna, ${displaystyle u (r, t) propto exppm (iqr-iomega t)}$. Posun atomů od jejich rovnovážných poloh obecně způsobí změnu v elektronická struktura pásma (Obrázek 5), kde se při rozptylu zabýváme elektrony ve vodivém pásmu s energií ~ E_CB,
${displaystyle Delta E_ {CB} = {frac {mathrm {d} E_ {CB}} {mathrm {d} V_ {0}}} Delta V_ {0} = V_ {0} {frac {mathrm {d} E_ { CB}} {mathrm {d} V_ {0}}} {frac {Delta V_ {0}} {V_ {0}}} = Z_ {DP} cdot igtriangledown u (r, t) ;; (12)}$.
Empirický parametr, Z_DP, se nazývá deformační potenciál a popisuje sílu vazby elektron-fonon. Vynásobení populací fononů (Distribuce Bose – Einstein, N_q) dává celkový deformační potenciál,
${displaystyle Delta E_ {CB} ^ {Tot} = {widehat {H}} _ {int} = Z_ {DP} cdot igtriangledown u (r, t) {sqrt {N_ {q} + {frac {1} {2 }} pm {frac {1} {2}}}} = pm iqZ_ {DP} u (r, t) {sqrt {N_ {q} + {frac {1} {2}} pm {frac {1} { 2}}}} ;; (13)}$

Obrázek 5: Schéma změny okrajů energetického pásma (vodivé pásmo, E _CBa valenční pásmo E _VB), protože atomové polohy krystalu jsou přemístěny z rovnováhy za vzniku objemového napětí.

(důvod kořene bude zřejmý níže). Zde + odpovídá emisi fononu a - absorpci fononu během události rozptylu. Poznámka, protože ${displaystyle qperp u (r, t)}$ pro příčné fonony jsou pouze interakce s podélnými fonony nenulové. Proto je úplná interakční matice
${displaystyle = pm iqZ_ {DP} u (r, t) {sqrt {N_ {q} + {frac {1} {2}} pm { frac {1} {2}}}} delta _ {k ', kpm q} ;; (14)}$
Kde Kroneckerova delta vynucuje zachování hybnosti a vychází z předpokladu elektronických vlnových funkcí (konečný stav, ${displaystyle$a počáteční stav, ${displaystyle | k>}$) jsou také rovinné vlny.

Akustické fonony

Použitím Fermiho zlatého pravidla lze aproximovat rychlost rozptylu pro nízkoenergetické akustické fonony. Interakční matice pro tyto fonony je
${displaystyle | | ^ {2} = Z_ {DP} ^ {2} {frac {hbar omega _ {q}} {2Vho c ^ {2 }}} (N_ {q} + {frac {1} {2}} pm {frac {1} {2}}) delta _ {k ', kpm q} ;; (15)}$
s radiální frekvencí fononu ω_q= cq, objem V, hustota pevných částic ρ a rychlost fononové skupiny c.^[5] Zapojením do ekv. 6 dává
${displaystyle S_ {k'k} ^ {Ac} = {frac {2pi} {hbar}} Z_ {DP} ^ {2} {frac {hbar omega _ {q}} {2Vho c ^ {2}}} ( N_ {q} + {frac {1} {2}} pm {frac {1} {2}}) delta _ {k ', kpm q} delta [E (k') - E (k) pm hbar omega _ {q}] ;; (16)}$.
Za předpokladu, že N_q>> 1, ħω << kT a g (E ') ~ g (E) (což obecně platí pro 3D krystaly, protože energie elektronů vedení jsou obecně mnohem větší než ħω a g (E) chybí van Hove jedinečnost ) udává rychlost rozptylu:
${displaystyle {frac {1} {au}} = součet _ {k '} S_ {k'k} ^ {Ac} = součet _ {k} S_ {kpm q, k} ^ {Ac}}$
${displaystyle = {frac {2pi} {hbar}} Z_ {DP} ^ {2} {frac {hbar omega _ {q}} {2Vho c ^ {2}}} ({frac {kT} {hbar omega _ { q}}}) součet _ {k} delta _ {k ', kpm q} delta [E (k') - E (k) pm hbar omega _ {q}]}$
${displaystyle = {frac {2pi} {hbar}} Z_ {DP} ^ {2} {frac {kT} {2Vho c ^ {2}}} V imes g (E)}$
${displaystyle = {frac {sqrt {2}} {pi}} {frac {Z_ {DP} ^ {2} m ^ {* {frac {3} {2}}} kT} {ho hbar ^ {4} c ^ {2}}} {sqrt {E-E_ {CB}}} ;; (17)}$
kde g (E) je elektronika hustota stavů pro které bylo použito trojrozměrné řešení s parabolickou disperzí k získání konečné odpovědi.

Optické fonony

Obvykle mají fonony v optických větvích vibračních disperzních vztahů energie řádově nebo větší než kT, a proto jsou aproximace ħω << kT a N_q>> 1 nelze vyrobit. Přiměřená cesta, která stále poskytuje objížďku od řešení složitých phononových disperzí, však používá Einsteinův model který uvádí, že v pevných látkách existuje pouze jeden fononový režim. U optických fononů se tato aproximace ukazuje jako dostatečná kvůli velmi malé odchylce strmosti v ω (q), a tedy můžeme tvrdit ħω (q) ≅ ħω, konstantu. V důsledku toho N_q je také konstanta (závisí pouze na T). Poslední aproximaci, g (E ') = g (E ± ħω) ~ g (E), nelze provést od ħω ~ E a neexistuje pro ni žádné řešení, ale přidaná složitost součtu pro τ je minimální.
${displaystyle {frac {1} {au}} = součet _ {k '} S_ {k'k} ^ {Op} = {frac {2pi} {hbar}} Z_ {DP} ^ {2} {frac {hbar omega} {2Vho c ^ {2}}} (N_ {q} + {frac {1} {2}} pm {frac {1} {2}}) součet _ {k '} delta _ {k', kpm q} delta [E (k ') - E (k) pm hbar omega]}$
${displaystyle = Z_ {DP} ^ {2} {frac {hbar omega} {8pi ^ {2} hbar ho c ^ {2}}} (N_ {q} + {frac {1} {2}} pm {frac {1} {2}}) g (Epm hbar omega) ;; (18)}$.
Součet se změní na hustotu stavů na E 'a Distribuce Bose – Einstein lze vyjmout ze součtu kvůli ħω (q) ≅ ħω.

Poznámky

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Prosinec 2008) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)