Carmichaelsova věta - Carmichaels theorem - Wikipedia

v teorie čísel, Carmichaelova věta, pojmenovaný po Američanovi matematik R.D. Carmichael, uvádí, že pro všechny nedgenerované Lucasova sekvence prvního druhu U_n(P,Q) s relativně prvotřídními parametry P, Q a pozitivní diskriminátor, prvek U_n s n ≠ 1, 2, 6 má alespoň jeden primární dělitel, který nerozdělí žádný dřívější kromě 12. Fibonacciho číslo F (12) =U₁₂(1, -1) = 144 a jeho ekvivalent U₁₂(-1, -1)=-144.

Zejména pro n větší než 12, nth Fibonacciho číslo F(n) má alespoň jednoho prvočíselného dělitele, který nedělí žádné dřívější Fibonacciho číslo.

Carmichael (1913, Věta 21) tuto větu prokázal. Nedávno Yabuta (2001)^[1] poskytl jednoduchý důkaz.

Prohlášení

Vzhledem k tomu dva nesoudělná čísla P a Q, takový, že ${ displaystyle D = P ^ {2} -4Q> 0}$ a PQ ≠ 0, nechť U_n(P,Q) být Lucasova sekvence prvního druhu definovaného

${ displaystyle { begin {aligned} U_ {0} (P, Q) & = 0, U_ {1} (P, Q) & = 1, U_ {n} (P, Q) & = P cdot U_ {n-1} (P, Q) -Q cdot U_ {n-2} (P, Q) qquad { mbox {pro}} n> 1. end {zarovnáno}}}$

Pak pro n ≠ 1, 2, 6, U_n(P,Q) má alespoň jednoho hlavního dělitele, který nerozděluje žádné U_m(P,Q) s m < n, až na U₁₂(1, -1) = F (12) = 144, U₁₂(-1, -1) = - F (12) = - 144. Takové prvočíslo p se nazývá a charakteristický faktor nebo a primitivní primární dělitel z U_n(P,QCarmichael skutečně ukázal o něco silnější větu: Pro n ≠ 1, 2, 6, U_n(P,Q) má alespoň jednoho primitivního prvotního dělitele, který se nedělí D^[2] až na U₃(1, -2)=U₃(-1, -2)=3, U₅(1, -1)=U₅(-1, -1) = F (5) = 5, U₁₂(1, -1) = F (12) = 144, U₁₂(-1, -1) = - F (12) = - 144.

Všimněte si, že D by měla být> 0, tedy případy U₁₃(1, 2), U₁₈(1, 2) a U₃₀(1, 2) atd. Nejsou zahrnuty, protože v tomto případě D = −7 < 0.

Fibonacci a Pell případy

Jediné výjimky v případě Fibonacci pro n až 12 jsou:

F (1) = 1 a F (2) = 1, které nemají žádné hlavní dělitele

F (6) = 8, jehož jediný primární dělitel je 2 (což je F (3))

F (12) = 144, jehož jedinými děliteli prvočísel jsou 2 (což je F (3)) a 3 (což je F (4))

Nejmenší primitivní primární dělitel F (n) jsou

1, 1, 2, 3, 5, 1, 13, 7, 17, 11, 89, 1, 233, 29, 61, 47, 1597, 19, 37, 41, 421, 199, 28657, 23, 3001, 521, 53, 281, 514229, 31, 557, 2207, 19801, 3571, 141961, 107, 73, 9349, 135721, 2161, 2789, 211, 433494437, 43, 109441, ... (sekvence A001578 v OEIS )

Carmichael teorém říká, že každé číslo Fibonacciho, kromě výjimek uvedených výše, má alespoň jednoho primitivního prvočíselného dělitele.

Li n > 1, pak nth Pell číslo má alespoň jeden primární dělitel, který nerozděluje žádné dřívější číslo Pell. Nejmenší primitivní primární dělitel nčíslo Pell je

1, 2, 5, 3, 29, 7, 13, 17, 197, 41, 5741, 11, 33461, 239, 269, 577, 137, 199, 37, 19, 45697, 23, 229, 1153, 1549, 79, 53, 113, 44560482149, 31, 61, 665857, 52734529, 103, 1800193921, 73, 593, 9369319, 389, 241, ... (sekvence A246556 v OEIS )

Viz také

• Zsigmondyho věta

Reference

• Carmichael, R. D. (1913), „O numerických faktorech aritmetických forem αⁿ± βⁿ", Annals of Mathematics, 15 (1/4): 30–70, doi:10.2307/1967797, JSTOR  1967797.