Zsigmondyova věta - Zsigmondys theorem - Wikipedia

v teorie čísel, Zsigmondyho věta, pojmenoval podle Karl Zsigmondy, uvádí, že pokud A > b > 0 jsou coprime celá čísla, pak pro všechny celé číslo n ≥ 1, existuje prvočíslo p (volal a primitivní primární dělitel), který rozděluje Aⁿ − bⁿ a nedělí se A^k − b^k pro jakékoli kladné celé číslo k < n, s následujícími výjimkami:

• n = 1, A − b = 1; pak Aⁿ − bⁿ = 1, který nemá žádné hlavní dělitele
• n = 2, A + b A síla dvou; pak jakékoli liché hlavní faktory A² - b² = (a + b) (a¹ - b¹) musí být obsažen v A¹ - b¹, což je také sudé
• n = 6, A = 2, b = 1; pak A⁶ − b⁶ = 63 = 3²×7 = (A² − b²)²(A³ − b³)

To zobecňuje Bangovu větu,^[1] který uvádí, že pokud n > 1 a n se tedy nerovná 6 2ⁿ − 1 má hlavního dělitele, který nedělí žádné 2^k − 1 s k < n.

Podobně, Aⁿ + bⁿ má alespoň jednoho primitivního dělitele prvočísel s výjimkou 2³ + 1³ = 9.

Zsigmondyho věta je často užitečná, zejména v teorii skupin, kde se používá k prokázání, že různé skupiny mají odlišné řády, kromě případů, kdy je známo, že jsou stejné.^[2][3]

Dějiny

Věta byla objevena Zsigmondy pracující v Vídeň od roku 1894 do roku 1925.

Zobecnění

Nechat ${ displaystyle (a_ {n}) _ {n geq 1}}$ být posloupností nenulových celých čísel Sada Zsigmondy související se sekvencí je sada

${ displaystyle { mathcal {Z}} (a_ {n}) = {n geq 1: a_ {n} { text {nemá primitivní primární dělitele}} }.}$

tj. soubor indexů ${ displaystyle n}$ tak, že každé hlavní rozdělení ${ displaystyle a_ {n}}$také rozděluje některé ${ displaystyle a_ {m}}$ pro některé ${ displaystyle m$. Zsigmondyho věta to tedy naznačuje ${ displaystyle { mathcal {Z}} (a ^ {n} -b ^ {n}) podmnožina {1,2,6 }}$, a Carmichaelova věta říká, že sada Zsigmondy z Fibonacciho sekvence je ${ displaystyle {1,2,6,12 }}$, a to z Sekvence Pell je ${ displaystyle {1 }}$. V roce 2001 Bilu, Hanrot a Voutier^[4]prokázal, že obecně, pokud ${ displaystyle (a_ {n}) _ {n geq 1}}$ je Lucasova sekvence nebo a Lehmerova sekvence, pak ${ displaystyle { mathcal {Z}} (a_ {n}) subseteq {1 leq n leq 30 }}$ (vidět OEIS: A285314, existuje jen 13 takových ${ displaystyle n}$s, konkrétně 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 18, 30). Lucasovy a Lehmerovy sekvence jsou příklady posloupnosti dělitelnosti.

Je také známo, že pokud ${ displaystyle (W_ {n}) _ {n geq 1}}$ je sekvence eliptické dělitelnosti, pak jeho Zsigmondyset ${ displaystyle { mathcal {Z}} (W_ {n})}$ je konečný.^[5] Výsledek je však neúčinný v tom smyslu, že důkaz neposkytuje výslovnou horní mez pro největší prvek v ${ displaystyle { mathcal {Z}} (W_ {n})}$, i když je možné stanovit efektivní horní mez pro počet elementů ${ displaystyle { mathcal {Z}} (W_ {n})}$.^[6]

Viz také

• Carmichaelova věta

Reference

• K. Zsigmondy (1892). „Zur Theorie der Potenzreste“. Časopis Monatshefte für Mathematik. 3 (1): 265–284. doi:10.1007 / BF01692444. hdl:10338.dmlcz / 120560.
• Čt. Schmid (1927). „Karl Zsigmondy“. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 36: 167–168.
• Moshe Roitman (1997). „On Zsigmondy Primes“. Proceedings of the American Mathematical Society. 125 (7): 1913–1919. doi:10.1090 / S0002-9939-97-03981-6. JSTOR  2162291.
• Walter Feit (1988). „On Large Zsigmondy Primes“. Proceedings of the American Mathematical Society. Americká matematická společnost. 102 (1): 29–36. doi:10.2307/2046025. JSTOR  2046025.
• Everest, Graham; van der Poorten, Alf; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003). Sekvence opakování. Matematické průzkumy a monografie. 104. Providence, RI: Americká matematická společnost. 103–104. ISBN  0-8218-3387-1. Zbl  1033.11006.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Zsigmondyho věta". MathWorld.