Carlitzova exponenciální - Carlitz exponential

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto problémech na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) tento článek poskytuje nedostatečný kontext pro ty, kteří danému tématu nejsou obeznámeni. Prosím pomozte vylepšit článek podle poskytuje čtenáři více kontextu. (Květen 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) tento článek možná matoucí nebo nejasné čtenářům. Zejména není vysvětleno, jak se jedná o zobecnění exponenciální funkce. Prosím, pomoz nám objasnit článek. O tom by mohla být diskuse diskusní stránka. (Květen 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby je pochopili. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Květen 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, Carlitzova exponenciální je charakteristika str analogicky k obvyklému exponenciální funkce studoval v nemovitý a komplexní analýza. Používá se při definici Carlitz modul - příklad a Modul Drinfeld.

Definice

Pracujeme na polynomiálním kruhu F_q[T] jedné proměnné nad a konečné pole F_q s q elementy. The dokončení C_∞ z algebraické uzavření pole F_q((T⁻¹)) z formální série Laurent v T⁻¹ bude užitečné. Je to úplné a algebraicky uzavřené pole.

Nejprve potřebujeme analogii k faktoriály, které se objevují v definici obvyklé exponenciální funkce. Pro i > 0 definujeme

${ displaystyle [i]: = T ^ {q ^ {i}} - T, ,}$

${ displaystyle D_ {i}: = prod _ {1 leq j leq i} [j] ^ {q ^ {i-j}}}$

a D₀ : = 1. Všimněte si, že obvyklý faktoriál je zde nevhodný, protože n! zmizí F_q[T] pokud n je menší než charakteristický z F_q[T].

Pomocí toho definujeme Carlitzovu exponenciál E_C:C_∞ → C_∞ konvergentním součtem

${ displaystyle e_ {C} (x): = součet _ {i = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {q ^ {i}}} {D_ {i}}}.}$

Vztah k modulu Carlitz

Carlitzův exponenciál splňuje funkční rovnici

${ displaystyle e_ {C} (Tx) = Te_ {C} (x) + vlevo (e_ {C} (x) vpravo) ^ {q} = (T + tau) e_ {C} (x), ,}$

kde se můžeme podívat ${ displaystyle tau}$ jako síla ${ displaystyle q}$ mapa nebo jako prvek prstenu ${ displaystyle F_ {q} (T) { tau }}$ z nekomutativní polynomy. Podle univerzální vlastnictví polynomiálních prstenců v jedné proměnné to vede až k prstencovému homomorfismu ψ:F_q[T]→C_∞{τ}, definující Drinfeld F_q[T] -modul přes C_∞{τ}. Nazývá se modul Carlitz.

Reference

• Goss, D. (1996). Základní struktury aritmetiky funkčního pole. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Výsledky v matematice a souvisejících oblastech (3)]. 35. Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-61087-8. PAN  1423131.
• Thakur, Dinesh S. (2004). Aritmetika funkčního pole. New Jersey: World Scientific Publishing. ISBN  978-981-238-839-1. PAN  2091265.