Capstanova rovnice - Capstan equation - Wikipedia

Příklad, kdy mohla být užitečná znalost rovnice převýšení. Ohnutá bílá trubice obsahuje šňůru pro zvedání a spouštění závěsu. Trubka je na dvou místech ohnutá o 40 stupňů. Modrá čára označuje efektivnější design.

Příklad držení navijáků a poháněného navijáku používaného ke zvedání plachet na vysoké lodi.

The valcová rovnice nebo rovnice tření pásu, také známý jako Eytelweinův vzorec (po Johann Albert Eytelwein ),^[1][2] Vztahuje přídržnou sílu k zátěžové síle, pokud je kolem válce ovinuta pružná šňůra (a patník, a naviják nebo a kotevní vratidlo ).^[3][2]

Kvůli interakci třecích sil a napětí může být napětí na linii omotané kolem navijáku odlišné na obou stranách navijáku. Malý podíl síla vyvíjená na jedné straně může nést mnohem větší načítání síla na druhé straně; toto je princip, kterým funguje zařízení typu navijáku.

Přídržný naviják je západkové zařízení, které se může otáčet pouze jedním směrem; jakmile je náklad zatažen na místo v tomto směru, může být držen mnohem menší silou. Poháněný naviják, nazývaný také naviják, se otáčí tak, že aplikované napětí se znásobí třením mezi lanem a navijákem. Na vysoká loď v tandemu se používá přídržný váleček a hnací váleček, takže k zvednutí těžké plachty lze použít malou sílu a poté lze lano z poháněného válečku snadno sejmout a uvázat.

v horolezectví s tzv top-lanoví, lehčí osoba může držet (jistit) těžší osobu díky tomuto efektu.

Vzorec je

${ displaystyle T _ { text {load}} = T _ { text {hold}} e ^ { mu phi} ~,}$

kde ${ displaystyle T _ { text {načíst}}}$ je aplikované napětí na vlasci, ${ displaystyle T _ { text {hold}}}$ je výsledná síla vyvíjená na druhou stranu navijáku, ${ displaystyle mu}$ je koeficient tření - mezi lanem a materiály navijáku a - ${ displaystyle phi}$ je celkový úhel zametený všemi otáčkami lana, měřený v radiánech (tj. s jedním úplným otočením úhlu) ${ displaystyle phi = 2 pi ,}$).

Aby byl vzorec platný, musí platit několik předpokladů:

1. Lano je na pokraji úplného posunu, tj. ${ displaystyle T _ { text {načíst}}}$ je maximální zatížení, které člověk unese. Mohou být drženy i menší zátěže, což má za následek menší efektivní kontaktní úhel ${ displaystyle phi}$.
2. Je důležité, aby vedení nebylo tuhé, v takovém případě by došlo ke ztrátě významné síly při ohybu vedení těsně kolem válce. (Rovnice musí být pro tento případ upravena.) Například a Bowden je do určité míry rigidní a neřídí se zásadami převýšení rovnice.
3. Linka neníelastický.

Lze pozorovat, že se zesílení síly zvyšuje exponenciálně s koeficientem tření, počtem otáček kolem válce a úhlem dotyku. Všimněte si, že poloměr válce nemá žádný vliv na zesílení síly.

V tabulce níže jsou uvedeny hodnoty faktoru ${ displaystyle e ^ { mu phi} ,}$ na základě počtu otáček a koeficientu tření μ.

Z tabulky je zřejmé, proč člověk málokdy vidí a prostěradlo (provaz na volnou stranu plachty) navinul více než tři otočení kolem navijáku. Zisk síly by byl extrémní, kromě toho, že by byl kontraproduktivní, protože existuje riziko a jezdecká zatáčka výsledkem je, že plachta bude faulovat, vytvářet uzel a nedojde, když zmírnil (uvolněním sevření na ocas (volný konec)).

Prastarou i moderní praxí je, že kotevní válečky a otočné navijáky jsou na základně mírně rozšířené, nikoli válcovité, aby se zabránilo lanu (warp warp nebo plachta) z klouzání dolů. Lano navinuté několikrát kolem navijáku může postupně proklouznout nahoru, s malým rizikem jezdecké zatáčky, za předpokladu, že je sledoval (volný konec je vytažen jasně), ručně nebo pomocí samonosiče.

Například faktor „153 552 935“ (5 otáček kolem kladky s koeficientem tření 0,6) teoreticky znamená, že novorozené dítě by bylo schopné udržet (nepohybovat se) váhu dvou USSNimitz supernosiče (každý 97 000 tun, ale pro dítě by to bylo jen něco málo přes 1 kg).^{[Citace je zapotřebí ]} Velký počet otáček kolem navijáku v kombinaci s tak vysokým koeficientem tření znamená, že k udržení takové těžké hmotnosti na místě je zapotřebí jen velmi malé dodatečné síly. Kabely nezbytné k uchopení této hmotnosti, jakož i schopnost hnacího ústrojí odolat tlakové síle těchto kabelů, jsou samostatné úvahy.

Zobecnění rovnice převodu pro klínový řemen

Rovnice tření pásu pro a klínový řemen je:

${ displaystyle T _ { text {load}} = T _ { text {hold}} {e} ^ { mu phi / sin ( alpha / 2)}}$

kde ${ displaystyle alpha}$ je úhel (v radiánech) mezi dvěma plochými stranami řemenice, na který klínový řemen tlačí.^[4] Plochý pás má efektivní úhel ${ displaystyle alpha = pi}$.

Materiál a Klínový řemen nebo multi-V hadí pás má tendenci klínovat se do spojovací drážky v řemenici, jak se zvyšuje zatížení, což zlepšuje přenos točivého momentu.^[5]

Pro stejný přenos síly vyžaduje klínový řemen menší napětí než plochý řemen, což zvyšuje životnost ložiska.^[4]

Zobecnění rovnice převodu pro lano ležící na libovolném ortotropním povrchu

Pokud lano leží v rovnováze pod tangenciálními silami na drsnosti ortotropní povrchu jsou splněny všechny tři následující podmínky:

1. Žádné oddělení - normální reakce ${ displaystyle N}$ je pozitivní pro všechny body lanové křivky:

   ${ displaystyle N = -k_ {n} T> 0}$, kde ${ displaystyle k_ {n}}$ je normální zakřivení lanové křivky.

2. Součinitel tření ${ displaystyle mu _ {g}}$ a úhel ${ displaystyle alpha}$ splňují následující kritéria pro všechny body křivky

   ${ displaystyle - mu _ {g} < tan alpha <+ mu _ {g}}$

3. Mezní hodnoty tangenciálních sil:

   Síly na obou koncích lana ${ displaystyle T}$ a ${ displaystyle T_ {0}}$ uspokojují následující nerovnost

   ${ displaystyle T_ {0} e ^ {- int _ {s} omega ds} leq T leq T_ {0} e ^ { int _ {s} omega ds}}$

   s ${ displaystyle omega = mu _ { tau} { sqrt {k_ {n} ^ {2} - { frac {k_ {g} ^ {2}} { mu _ {g} ^ {2} }}}} = mu _ { tau} k { sqrt { cos ^ {2} alpha - { frac { sin ^ {2} alpha} { mu _ {g} ^ {2} }}}},}$

   kde ${ displaystyle k_ {g}}$je geodetické zakřivení lanové křivky, ${ displaystyle k}$ je zakřivení lanové křivky, ${ displaystyle mu _ { tau}}$je koeficient tření v tangenciálním směru.

   Li ${ displaystyle omega = const}$ pak ${ displaystyle T_ {0} e ^ {- mu _ { tau} ks , { sqrt { cos ^ {2} alpha - { frac { sin ^ {2} alpha} { mu _ {g} ^ {2}}}}}} leq T leq T_ {0} e ^ { mu _ { tau} ks , { sqrt { cos ^ {2} alpha - { frac { sin ^ {2} alpha} { mu _ {g} ^ {2}}}}}}}$

Toto zevšeobecnění získal Konyukhov.^[6][7]

Viz také

• Tření pásu
• Mechanika třecího kontaktu

Reference

Další čtení

• Arne Kihlberg, Kompendium i Mekanik för E1, del II, Göteborg 1980, 60–62.

externí odkazy

• Kalkulačka rovnice převýšení