Cahensova konstanta - Cahens constant - Wikipedia

v matematika, Cahenova konstanta je definován jako nekonečná řada z jednotkové zlomky se střídavými znaky odvozenými z Sylvestrova sekvence:

${ displaystyle C = sum { frac {(-1) ^ {i}} {s_ {i} -1}} = { frac {1} {1}} - { frac {1} {2} } + { frac {1} {6}} - { frac {1} {42}} + { frac {1} {1806}} - cdots přibližně 0,64341054629.}$

Kombinace těchto frakcí ve dvojicích vede k alternativnímu rozšíření Cahenovy konstanty jako série pozitivních jednotkových frakcí vytvořených z termínů v sudých pozicích Sylvestrovy sekvence. Tato řada pro Cahenovu konstantu tvoří její chamtivá egyptská expanze:

${ displaystyle C = sum { frac {1} {s_ {2i}}} = { frac {1} {2}} + { frac {1} {7}} + { frac {1} { 1807}} + { frac {1} {10650056950807}} + cdots}$

Tato konstanta je pojmenována po Eugène Cahen (také známý pro Cahen-Mellinův integrál ), který nejprve formuloval a zkoumal její sérii (Cahen 1891 ).

Je známo, že Cahenova konstanta je transcendentální (Davison & Shallit 1991 ). Je pozoruhodné, že je to jedno z malého počtu přirozeně se vyskytujících transcendentálních čísel, pro které známe úplnost pokračující zlomek expanze: pokud vytvoříme sekvenci

0, 1, 1, 1, 2, 3, 14, 129, 25298, 420984147, ... (sekvence A006279 v OEIS )

definováno relace opakování

${ displaystyle a_ {0} = 0, ~ a_ {1} = 1, ~ a_ {n + 2} = a_ {n} left (1 + a_ {n} a_ {n + 1} right) ~ forall ~ n in mathbb {Z} _ { geqslant 2}}$

pak má Cahenova konstanta kanonický pokračující zlomek:

${ displaystyle left [a_ {0} ^ {2}; a_ {1} ^ {2}, a_ {2} ^ {2}, a_ {3} ^ {2}, a_ {4} ^ {2} , ldots right]}$

(Davison & Shallit 1991 ).

Reference

• Cahen, Eugène (1891), „Note sur un développement des quantités numériques, qui présente quelque analogie avec celui en zlomky pokračuje“, Nouvelles Annales de Mathématiques, 10: 508–514
• Davison, J. Les; Shallit, Jeffrey O. (1991), „Pokračující zlomky pro některé střídavé řady“, Monatshefte für Mathematik, 111 (2): 119–126, doi:10.1007 / BF01332350

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Cahenova konstanta“. MathWorld.
• "Cahenova konstanta na 4000 číslic", Plouffe's Inverter, Université du Québec à Montréal, archivovány z originál dne 17. března 2011, vyvoláno 2011-03-19
• „Cahenova konstanta (1 000 000 číslic)“, Darkside komunikační skupina (v Japonsku), vyvoláno 2017-12-25