Burke – Schumannův plamen - Burke–Schumann flame - Wikipedia

v spalování, a Burke – Schumannův plamen je typ difúzní plamen, usazený v ústí dvou soustředných kanálů, vydáváním paliva a okysličovadla ze dvou oblastí. Je pojmenována po S.P.Burkovi a T.E.W. Schumann,^[1][2] kteří byli schopni předpovědět výšku a tvar plamene pomocí své jednoduché analýzy nekonečně rychlé chemie (která se nyní nazývá jako Burke – Schumannův limit ) v roce 1928 u První sympozium o spalování.

Matematický popis^[3][4]

Zvažte válcový kanál s osou podél ${ displaystyle z}$ směr s poloměrem ${ displaystyle a}$ kterým je palivo přiváděno ze dna a ústí trubky je umístěno na ${ displaystyle z = 0}$. Oxidační činidlo se přivádí podél stejné osy, ale v soustředné trubici o poloměru ${ displaystyle b}$ mimo palivovou trubici. Nech hmotnostní zlomek v palivové trubce ${ displaystyle Y_ {Fo}}$ a hmotnostní zlomek kyslíku ve vnějším potrubí ${ displaystyle Y_ {Oo}}$. V oblasti dochází ke směšování paliva a kyslíku ${ displaystyle z> 0}$. Při analýze byly vytvořeny následující předpoklady:

• Průměrná rychlost je rovnoběžná s osou (${ displaystyle z}$ směr) potrubí, ${ displaystyle mathbf {v} = v mathbf {e} _ {z}}$
• Hmotový tok v axiálním směru je konstantní, ${ displaystyle rho v = mathrm {konstantní}}$
• Axiální difúze je ve srovnání s příčnou / radiální difúzí zanedbatelná
• Plamen se objevuje nekonečně rychle (Burke – Schumannův limit ), proto se plamen jeví jako a reakční list napříč kterými vlastnostmi toku se mění
• Účinky gravitace byly zanedbány

Zvažte nevratný krok Arrhenův zákon, ${ displaystyle mathrm {Fuel} + s mathrm {O} _ {2} rightarrow (1 + s) mathrm {Products} + q}$, kde ${ displaystyle s}$ je hmotnost kyslíku potřebná ke spalování jednotkové hmotnosti paliva a ${ displaystyle q}$ je množství tepla uvolněného na jednotku hmotnosti spáleného paliva. Li ${ displaystyle omega}$ je počet molů paliva spálených na jednotku objemu za jednotku času a zavedením bezrozměrného podílu paliva a hmotnosti a parametru stechiometrie,

${ displaystyle y_ {F} = { frac {Y_ {F}} {Y_ {Fo}}}, quad y_ {O} = { frac {Y_ {O}} {Y_ {Oo}}}, čtyřkolka S = { frac {sY_ {Fo}} {Y_ {Oo}}}}$

řídící rovnice pro hmotnostní zlomek paliva a oxidačního činidla se sníží na

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { frac { rho D_ {T}} {r}} { frac { částečné} { částečné r}} vlevo (r { frac { částečné y_ {F }} { částečné r}} pravé) - rho v { frac { částečné y_ {F}} { částečné z}} = { frac { omega} {Y_ {Fo}}} { frac { rho D_ {T}} {r}} { frac { částečné} { částečné r}} vlevo (r { frac { částečné y_ {O}} { částečné r}} vpravo ) - rho v { frac { částečné y_ {O}} { částečné z}} = S { frac { omega} {Y_ {Fo}}} konec {zarovnáno}}}$

kde Lewisovo číslo obou druhů se předpokládá jednota a ${ displaystyle rho D_ {T}}$ se považuje za konstantní, kde ${ displaystyle D_ {T}}$ je tepelná difuzivita. Okrajové podmínky problému jsou

${ displaystyle { begin {aligned} { text {at}} , & z = 0, , 0$

Rovnici lze lineárně kombinovat, aby se odstranil nelineární reakční člen ${ displaystyle omega / Y_ {Fo}}$ a řešení pro novou proměnnou

${ displaystyle Z = { frac {Sy_ {F} -y_ {O} +1} {S + 1}}}$,

kde ${ displaystyle Z}$ je známý jako směsná frakce. Frakce směsi nabývá hodnoty jednoty v proudu paliva a nuly v proudu okysličovadla a je to skalární pole, které není ovlivněno reakcí. Rovnice splněna ${ displaystyle Z}$ je

${ displaystyle { frac {1} {r}} { frac { částečné} { částečné r}} levé (r { frac { částečné Z} { částečné r}} pravé) - { frac { rho v} { rho D_ {T}}} { frac { částečné Z} { částečné z}} = 0.}$

Představujeme následující transformaci souřadnic

${ displaystyle xi = { frac {r} {b}}, quad eta = { frac { rho D_ {T}} { rho v}} { frac {z} {b ^ {2 }}}, quad c = { frac {a} {b}}}$

redukuje rovnici na

${ displaystyle { frac {1} { xi}} { frac { částečné} { částečné xi}} vlevo ( xi { frac { částečné Z} { částečné xi}} vpravo ) - { frac { částečné Z} { částečné eta}} = 0.}$

Odpovídající okrajové podmínky se stanou

${ displaystyle { begin {aligned} { text {at}} , & eta = 0, , 0 < xi$

Rovnici lze vyřešit oddělením proměnných

${ displaystyle Z ( xi, eta) = c ^ {2} + 2c suma _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} { lambda _ {n}}} { frac {J_ {1} (c lambda _ {n})} {J_ {0} ^ {2} ( lambda _ {n})}} J_ {0} ( lambda _ {n} xi) e ^ {- lambda _ {n} ^ {2} eta}}$

kde ${ displaystyle J_ {0}}$ a ${ displaystyle J_ {1}}$ jsou Besselova funkce prvního druhu a ${ displaystyle lambda _ {n}}$ je n-tým kořenem ${ displaystyle J_ {1} ( lambda) = 0.}$ Řešení lze také získat pro rovinné kanály místo zde popsaných osově souměrných kanálů.

Tvar a výška plamene

V Burke-Schumannův limit, je plamen považován za tenkou reakční vrstvu, mimo kterou nemůže existovat palivo i kyslík společně, tj. ${ displaystyle y_ {F} y_ {O} = 0}$. Samotná reakční vrstva je umístěna u stechiometrického povrchu, kde ${ displaystyle Sy_ {F} = y_ {O}}$jinými slovy, kde

${ displaystyle Z = Z_ {s} equiv { frac {1} {S + 1}}}$

kde ${ displaystyle Z_ {s}}$ je stechiometrická směsná frakce. Reakční vrstva odděluje oblast paliva a okysličovadla. Vnitřní strukturu reakčního listu popisuje Liñánova rovnice. Na straně paliva reakčního listu (${ displaystyle Z> Z_ {s}}$)

${ displaystyle y_ {F} = { frac {Z-Z_ {s}} {1-Z_ {s}}}, , y_ {O} = 0}$

a na straně okysličovadla (${ displaystyle Z$)

${ displaystyle y_ {F} = 0, , y_ {O} = 1 - { frac {Z} {Z_ {s}}}.}$

Pro dané hodnoty ${ displaystyle Z_ {s}}$ (nebo, ${ displaystyle S}$) a ${ displaystyle c}$, tvar plamene je dán podmínkou ${ displaystyle Z ( xi, eta) = Z_ {s}}$, tj.,

${ displaystyle Z_ {s} = c ^ {2} + 2c sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} { lambda _ {n}}} { frac {J_ {1 } (c lambda _ {n})} {J_ {0} ^ {2} ( lambda _ {n})}} J_ {0} ( lambda _ {n} xi) e ^ {- lambda _ {n} ^ {2} eta}.}$

Když ${ displaystyle Z_ {s} rightarrow 0}$ (${ displaystyle S rightarrow infty}$), plamen vychází z ústí vnitřní trubice a v určité výšce se připevňuje k vnější trubce (nedostatečně větrané pouzdro) a kdy ${ displaystyle Z_ {s} rightarrow 1}$ (${ displaystyle S rightarrow 0}$), plamen začíná od ústí vnitřní trubky a spojuje se v ose v určité výšce od ústí (převětrané pouzdro). Obecně se výška plamene získá řešením pro ${ displaystyle eta}$ ve výše uvedené rovnici po nastavení ${ displaystyle xi = 1}$ pro ventilační skříň a ${ displaystyle xi = 0}$ pro převětrané pouzdro.

Vzhledem k tomu, že výšky plamene jsou obecně velké, aby exponenciální členy v řadě byly zanedbatelné, lze odhadnout první přibližnou výšku plamene tak, že ponecháme pouze první člen řady. Tato aproximace předpovídá výšky plamene pro oba případy následovně

${ displaystyle { begin {aligned} eta & = { frac {1} { lambda _ {1} ^ {2}}} ln left [{ frac {2cJ_ {1} (c lambda _ {1})} {(Z_ {s} -c ^ {2}) lambda _ {1} J_ {0} ( lambda _ {1})}} right], quad { text {under- ventilované}} eta & = { frac {1} { lambda _ {1} ^ {2}}} ln left [{ frac {2cJ_ {1} (c lambda _ {1}) } {(Z_ {s} -c ^ {2}) lambda _ {1} J_ {0} ^ {2} ( lambda _ {1})}} vpravo], quad { text {přes- ventilované}}, end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle lambda _ {1} = 3,8317.}$

Reference