Brauersovy tři hlavní věty - Brauers three main theorems - Wikipedia

Brauerovy hlavní věty jsou tři věty v teorie reprezentace konečných grup spojující bloky a konečná skupina (v charakteristice p) s těmi jeho p- místní podskupiny, to znamená, že normalizátory jeho netriviální p- podskupiny.

Druhá a třetí hlavní věta umožňují upřesnění vztahů ortogonality pro běžné znaky které lze použít v konečném teorie skupin. Ty v současnosti nepřiznávají důkaz čistě ve smyslu běžných postav. Všechny tři hlavní věty jsou uvedeny v podmínkách Brauerova korespondence.

Brauerova korespondence

Existuje mnoho způsobů, jak rozšířit definici, která následuje, ale toto je blízké rané léčbě Brauerem. Nechat G být konečnou skupinou, p být předseda, F být pole charakteristické p.Nechat H být podskupinou G který obsahuje

${ displaystyle QC_ {G} (Q)}$

pro některé p- podskupina Qz G, a je obsažen v normalizátor

${ displaystyle N_ {G} (Q)}$,

kde ${ displaystyle C_ {G} (Q)}$ je centralizátor z Q v G.

The Brauerův homomorfismus (s ohledem na H) je lineární mapa ze středu skupinové algebry G přes F do odpovídající algebry pro H. Konkrétně se jedná o omezení ${ displaystyle Z (FG)}$ (lineární) projekce z ${ displaystyle FG}$ na ${ displaystyle FC_ {G} (Q)}$ whosekernel je překlenut prvky G mimo ${ displaystyle C_ {G} (Q)}$. Obrázek této mapy je obsažen v ${ displaystyle Z (FH)}$a ukazuje se, že mapa je také prstencovým homomorfismem.

Protože se jedná o kruhový homomorfismus, pro jakýkoli blok B z FG, Brauerův homomorfismus vysílá prvek identity B buď 0 nebo na idempotentní prvek. V druhém případě může být idempotent rozložen jako součet (vzájemně kolmý) primitivní idempotenty z Z (FH). Každý z těchto primitivních idempotentů je multiplikativní identitou nějakého bloku FH. Blok b z FH se říká, že je Brauerův korespondent z B pokud dojde k jeho prvku identity v tomto rozkladu obrazu identity B pod Brauerovým homomorfismem.

Brauerova první hlavní věta

Brauerova první hlavní věta (Brauer1944, 1956, 1970 ) uvádí, že pokud ${ displaystyle G}$ je konečná skupina a ${ displaystyle D}$ je ${ displaystyle p}$- podskupina ${ displaystyle G}$, pak existuje bijekce mezi množinou (charakteristika p) bloky ${ displaystyle G}$ se skupinou defektů ${ displaystyle D}$ a bloky normalizátoru ${ displaystyle N_ {G} (D)}$ se skupinou defektů D. Tato bijekce vyvstává, protože když ${ displaystyle H = N_ {G} (D)}$, každý blok Gse skupinou defektů D má jedinečný blok korespondentů Brauer z H, který má také skupinu defektů D.

Brauerova druhá hlavní věta

Brauerova druhá hlavní věta (Brauer1944, 1959 ) dává pro prvek t jehož pořadí je moc prvočísla p, kritérium pro (charakteristiku p) blok ${ displaystyle C_ {G} (t)}$ odpovídat danému bloku ${ displaystyle G}$, přes zobecněná čísla rozkladu. Jedná se o koeficienty, ke kterým dochází při omezeních běžných znaků ${ displaystyle G}$ (z daného bloku) na prvky formuláře tu, kde u rozsahy nad prvky řádu prime to p v ${ displaystyle C_ {G} (t)}$,, jsou psány jako lineární kombinace neredukovatelné Brauerovy postavy z ${ displaystyle C_ {G} (t)}$. Obsahem věty je, že je nutné používat pouze Brauerovy znaky z bloků ${ displaystyle C_ {G} (t)}$ což jsou Brauerovi korespondenti zvoleného bloku G.

Brauerova třetí hlavní věta

Brauerova třetí hlavní věta (Brauer 1964, věta3) uvádí, že když Q je p- podskupina konečné skupiny G,a H je podskupina G, obsahující ${ displaystyle QC_ {G} (Q)}$a obsažené v ${ displaystyle N_ {G} (Q)}$, pak hlavní blok z H je jediným korespondentem Brauer v hlavním bloku G (kde uvedené bloky jsou počítány v charakteristice p).

Reference

• Brauer, R. (1944), „O aritmetice ve skupinovém kruhu“, Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 30: 109–114, doi:10.1073 / pnas.30.5.109, ISSN  0027-8424, JSTOR  87919, PAN  0010547, PMC  1078679, PMID  16578120
• Brauer, R. (1946), „Na blocích znaků skupin konečného řádu I“, Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 32: 182–186, doi:10.1073 / pnas.32.6.182, ISSN  0027-8424, JSTOR  87578, PAN  0016418, PMC  1078910, PMID  16578199
• Brauer, R. (1946), "Na bloky znaků skupin konečného řádu. II", Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 32: 215–219, doi:10.1073 / pnas.32.8.215, ISSN  0027-8424, JSTOR  87838, PAN  0017280, PMC  1078924, PMID  16578207
• Brauer, R. (1956), „Zur Darstellungstheorie der Gruppen endlicher Ordnung“, Mathematische Zeitschrift, 63: 406–444, doi:10.1007 / BF01187950, ISSN  0025-5874, PAN  0075953
• Brauer, R. (1959), "Zur Darstellungstheorie der Gruppen endlicher Ordnung. II", Mathematische Zeitschrift, 72: 25–46, doi:10.1007 / BF01162934, ISSN  0025-5874, PAN  0108542
• Brauer, R. (1964), "Některé aplikace teorie bloků znaků konečných skupin. I", Journal of Algebra, 1: 152–167, doi:10.1016/0021-8693(64)90031-6, ISSN  0021-8693, PAN  0168662
• Brauer, R. (1970), „O první hlavní větě o blocích znaků konečných skupin.“, Illinois Journal of Mathematics, 14: 183–187, ISSN  0019-2082, PAN  0267010
• Dade, Everett C. (1971), „Teorie znaků vztahující se k konečným jednoduchým skupinám“, Powell, M. B .; Higman, Graham (eds.), Konečné jednoduché skupiny. Sborník z instruktážní konference pořádané London Mathematical Society (NATO Advanced Study Institute), Oxford, září 1969., Boston, MA: Akademický tisk, str. 249–327, ISBN  978-0-12-563850-0, PAN  0360785 poskytuje podrobný důkaz hlavních Brauerových vět.
• Ellers, H. (2001) [1994], „Brauerova první hlavní věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Ellers, H. (2001) [1994], „Brauerova hypotéza výšky a nuly“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Ellers, H. (2001) [1994], „Brauerova druhá hlavní věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Ellers, H. (2001) [1994], „Brauerova třetí hlavní věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Walter Feit, Teorie reprezentace konečných grup. Matematická knihovna North-Holland, 25. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1982. xiv + 502 pp.ISBN  0-444-86155-6