Rovnice Born-Landé - Born–Landé equation

The Rovnice Born-Landé je prostředek pro výpočet mřížová energie krystalické iontová sloučenina. V roce 1918^[1] Max Born a Alfred Landé navrhl, že mřížová energie by mohla být odvozena z elektrostatický potenciál iontové mřížky a termínu odpudivé potenciální energie.^[2]

${displaystyle E = - {frac {N_ {A} Mz ^ {+} z ^ {-} e ^ {2}} {4pi varepsilon _ {0} r_ {0}}} vlevo (1- {frac {1} {noc)}$

kde:

• N_A = Avogadro konstantní;
• M = Madelungova konstanta týkající se geometrie krystalu;
• z⁺ = číselný počet nábojů kationtu
• z⁻ = číselné číslo náboje aniontu
• E = základní náboj, 1.6022×10⁻¹⁹ C
• ε₀ = permitivita volného prostoru

  4πε₀ = 1.112×10⁻¹⁰ C²/ (J · m)

• r₀ = vzdálenost k nejbližšímu iontu
• n = Born exponent, obvykle číslo mezi 5 a 12, stanovený experimentálně měřením stlačitelnost pevné látky nebo odvozené teoreticky.^[3]

Derivace

Iontová mřížka je modelována jako soubor tvrdých elastických koulí, které jsou stlačeny dohromady vzájemnou přitažlivostí elektrostatických nábojů na iontech. Dosahují pozorované rovnovážné vzdálenosti od sebe díky vyrovnávacímu odpuzování na krátkou vzdálenost.

Elektrostatický potenciál

Elektrostatická potenciální energie, E_pár, mezi dvojicí iontů se stejným a opačným nábojem je:

${displaystyle E_ {ext {pair}} = - {frac {z ^ {2} e ^ {2}} {4pi epsilon _ {0} r}}}$

kde

z = velikost náboje na jeden iont

E = základní poplatek, 1,6022×10⁻¹⁹ C

ε₀ = permitivita volného prostoru

4πε₀ = 1.112×10⁻¹⁰ C²/ (J · m)

r = vzdálenost oddělující iontová centra

Pro jednoduchou mřížku skládající se z iontů se stejným a opačným nábojem v poměru 1: 1 je třeba pro výpočet sečíst interakce mezi jedním iontem a všemi ostatními mřížkovými ionty E_M, někdy nazývané Madelung nebo mřížková energie:

${displaystyle E_ {ext {M}} = - {frac {z ^ {2} e ^ {2} M} {4pi epsilon _ {0} r}}}$

kde

M = Madelungova konstanta, který souvisí s geometrií krystalu

r = nejbližší vzdálenost mezi dvěma ionty opačného náboje

Odpudivý termín

Born a Lande navrhli, že odpudivá interakce mezi mřížkovými ionty bude úměrná 1/rⁿ takže odpudivý energetický termín, E_R, bude vyjádřeno:

${displaystyle E_ {ext {R}} = {frac {B} {r ^ {n}}}}$

kde

B = konstantní měřítko síly odpudivé interakce

r = nejbližší vzdálenost mezi dvěma ionty opačného náboje

n = Born exponent, číslo mezi 5 a 12 vyjadřující strmost odpudivé bariéry

Celková energie

Celková intenzivní potenciální energie iontu v mřížce může být proto vyjádřena jako součet Madelungových a odpudivých potenciálů:

${displaystyle E (r) = - {frac {z ^ {2} e ^ {2} M} {4pi epsilon _ {0} r}} + {frac {B} {r ^ {n}}}}$

Minimalizace této energie s ohledem na r poskytuje rovnovážnou separaci r₀ z hlediska neznámé konstanty B:

${displaystyle {egin {aligned} {frac {mathrm {d} E} {mathrm {d} r}} & = {frac {z ^ {2} e ^ {2} M} {4pi epsilon _ {0} r ^ {2}}} - {frac {nB} {r ^ {n + 1}}} 0 & = {frac {z ^ {2} e ^ {2} M} {4pi epsilon _ {0} r_ {0} ^ {2}}} - {frac {nB} {r_ {0} ^ {n + 1}}} r_ {0} & = left ({frac {4pi epsilon _ {0} nB} {z ^ {2 } e ^ {2} M}} ight) ^ {frac {1} {n-1}} B & = {frac {z ^ {2} e ^ {2} M} {4pi epsilon _ {0} n} } r_ {0} ^ {n-1} konec {zarovnáno}}}$

Vyhodnocení minimální intenzivní potenciální energie a nahrazení výrazu B ve smyslu r₀ dává rovnici Born – Landé:

${displaystyle E (r_ {0}) = - {frac {Mz ^ {2} e ^ {2}} {4pi epsilon _ {0} r_ {0}}} vlevo (1- {frac {1} {n} } v noci)}$

Vypočtené energie mřížky

Rovnice Born-Landé dává představu o mřížkové energii systému.^[2]

Sloučenina	Vypočítáno	Experimentální
NaCl	-756 kJ / mol	-787 kJ / mol
LiF	-1007 kJ / mol	-1046 kJ / mol
CaCl2	-2170 kJ / mol	-2255 kJ / mol

Born Exponent

Bornův exponent je obvykle mezi 5 a 12. Přibližné experimentální hodnoty jsou uvedeny níže:^[4]

Konfigurace iontů	On	Ne	Ar, Cu+	Kr, Ag+	Xe, Au+
n	5	7	9	10	12

Viz také

• Kapustinská rovnice
• Born – Mayerova rovnice

Reference