Boggiosův vzorec - Boggios formula - Wikipedia

V matematický pole teorie potenciálu, Boggiov vzorec je explicitní vzorec pro Greenova funkce pro polyharmonii Dirichletův problém na kouli o poloměru 1. Objevil ji italský matematik Tommaso Boggio.

Polyharmonickým problémem je najít funkci u uspokojující

${ displaystyle (- Delta) ^ {m} u (x) = f (x)}$

kde m je kladné celé číslo a ${ displaystyle (- Delta)}$ představuje Operátor Laplace. Funkce Green je uspokojivá funkce

${ displaystyle (- Delta) ^ {m} G (x, y) = delta (x-y)}$

kde ${ displaystyle delta}$ představuje Diracova delta distribuce, a navíc se rovná 0 až do objednávky m-1 na hranici.

Boggio zjistil, že funkce Greena na míč dovnitř n prostorové rozměry jsou

${ displaystyle G_ {m, n} (x, y) = C_ {m, n} | xy | ^ {2m-n} int _ {1} ^ { frac { left || x | y- { frac {x} {| x |}} doprava |} {| xy |}} (v ^ {2} -1) ^ {m-1} v ^ {1-n} dv}$

Konstanta ${ displaystyle C_ {m, n}}$ darováno

${ displaystyle C_ {m, n} = { frac {1} {ne_ {n} 4 ^ {m-1} ((m-1)!) ^ {2}}},}$ kde ${ displaystyle e_ {n} = { frac { pi ^ { frac {n} {2}}} { Gamma (1 + { frac {n} {2}})}}}$

Zdroje

• Boggio, Tomáš (1905), „Sulle funzioni di Green d'ordine m" (PDF), Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 20, str. 97–135, doi:10.1007 / BF03014033
• Gazzola, Filippo; Grunau, Hans-Christoph; Sweers, Guido (2010), Polyharmonické problémy s hraničními hodnotami (PDF)Přednášky z matematiky, 1991, Berlín: Springer, ISBN  978-3-642-12244-6