Birkhoffova interpolace - Birkhoff interpolation - Wikipedia

tento článek možná matoucí nebo nejasné čtenářům. Prosím, pomoz nám objasnit článek. Možná o tom bude diskuse diskusní stránka. (Prosinec 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, Birkhoffova interpolace je příponou polynomiální interpolace. Odkazuje na problém nalezení polynomu p stupně d takové, že jisté deriváty mít zadané hodnoty ve stanovených bodech:

${ displaystyle p ^ {(n_ {i})} (x_ {i}) = y_ {i} qquad { mbox {for}} i = 1, ldots, d,}$

kde jsou datové body ${ displaystyle (x_ {i}, y_ {i})}$ a nezáporná celá čísla ${ displaystyle n_ {i}}$ jsou uvedeny. Liší se od Hermitova interpolace v tom, že je možné specifikovat deriváty p v některých bodech bez zadání dolních derivací nebo samotného polynomu. Název odkazuje na George David Birkhoff, který problém poprvé studoval v Birkhoff (1906).

Existence a jedinečnost řešení

Na rozdíl od Lagrangeova interpolace a Hermitova interpolace, problém s Birkhoffovou interpolací nemá vždy jedinečné řešení. Například neexistuje žádný kvadratický polynom ${ displaystyle textstyle p}$ takhle ${ displaystyle textstyle p (-1) = p (1) = 0}$ a ${ displaystyle textstyle p '(0) = 1}$. Na druhou stranu, Birkhoffův interpolační problém, kde hodnoty ${ displaystyle textstyle p '(- 1)}$, ${ displaystyle textstyle p (0)}$ a ${ displaystyle textstyle p '(1)}$ jsou uvedeny vždy má jedinečné řešení (Passow 1983 ).

Důležitým problémem v teorii Birkhoffovy interpolace je klasifikace problémů, které mají jedinečné řešení. Schoenberg (1966) formuluje problém následujícím způsobem. Nechat d označit počet podmínek (jak je uvedeno výše) a nechat k být počet interpolačních bodů. Vzhledem k d-podle-k matice E, jejichž všechny položky jsou buď 0 nebo 1, takže přesně d položky jsou 1, pak je příslušný problém určit p takhle

${ displaystyle p ^ {(j)} (x_ {i}) = y_ {i, j} qquad { text {pro všechny}} (i, j) { text {with}} e_ {ij} = 1.}$

Matice E se nazývá matice dopadu. Například matice dopadu problémů s interpolací zmíněných v předchozím odstavci jsou:

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 end {bmatrix}} quad { text {and}} quad { begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 end {bmatrix }}.}$

Nyní otázka zní: má Birkhoffův problém s interpolací s danou incidenční maticí jedinečné řešení pro jakýkoli výběr interpolačních bodů?

Případ s k = 2 interpolační body byly řešeny pomocí Pólya (1931). Nechat S_m označte součet položek v první m sloupce matice výskytu:

${ displaystyle S_ {m} = součet _ {i = 1} ^ {k} součet _ {j = 1} ^ {m} e_ {ij}.}$

Pak Birkhoffův problém s interpolací k = 2 má jedinečné řešení právě tehdy S_m ≥ m pro všechny m. Schoenberg (1966) ukázal, že je to nezbytná podmínka pro všechny hodnoty k.

Reference

• Birkhoff, George David (1906), „Obecná střední hodnota a zbytkové věty s aplikacemi pro mechanickou diferenciaci a kvadraturu“, Transakce Americké matematické společnosti Americká matematická společnost, 7 (1): 107–136, doi:10.2307/1986339, ISSN  0002-9947, JSTOR  1986339.
• Passow, Eli (1983), „Book Review: Birkhoff interpolation by G. G. Lorentz, K. Jetter and S. D. Riemenschneider“, Americká matematická společnost. Bulletin. Nová řada, 9 (3): 348–351, doi:10.1090 / S0273-0979-1983-15204-7, ISSN  0002-9904.
• Pólya, Georgi (1931), „Bemerkung zur Interpolation und zur Naherungstheorie der Balkenbiegung“, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 11: 445–449, doi:10,1002 / zamm.19310110620, ISSN  0044-2267.
• Schoenberg, Isaac Jacob (1966), „O interpolaci Hermite-Birkhoff“, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 16: 538–543, doi:10.1016 / 0022-247X (66) 90160-0, ISSN  0022-247X.