Biquandle - Biquandle

v matematika, bikvandly a biracks jsou sady s binárními operacemi, které zobecňují quandles a regály. Biquandles se v teorii virtuální uzly, místo, které quandles zaujímá v teorii klasiky uzly. Biracks a regály mají stejný vztah, zatímco biquandle je birack, který splňuje některé další podmínky.

Definice

Biquandles a biracks mají dvě binární operace na sadě psaný a . Ty splňují následující tři axiomy:

1.

2.

3.

Tyto identity se objevily v roce 1992 v odkazu [FRS], kde byl objekt nazýván druhem.

Zde je užitečná notace horního a dolního indexu, protože odpadá nutnost použití závorek. Například když píšeme pro a pro pak se stanou tři výše uvedené axiomy

1.

2.

3.

Pokud navíc tyto dvě operace jsou invertibilní, to je dáno v sadě existují jedinečné v sadě takhle a pak sada společně se dvěma operacemi definují a birack.

Například pokud , s operací , je nosič pak je to únos, pokud definujeme druhou operaci jako identita, .

Pro únos funkce lze definovat pomocí

Pak

1. je bijekce

2.

Ve druhé podmínce a jsou definovány a . Tato podmínka je někdy známá jako set-teoretický Yang-Baxter rovnice.

Chcete-li vidět, že 1. je pravda, všimněte si, že definován

je inverzní k

Abychom viděli, že 2. je pravda, sledujme postup trojky pod . Tak

Na druhou stranu, . Jeho pokrok pod je

Žádný uspokojující 1. 2. se říká, že a přepínač (předchůdce biquandles a biracks).

Příklady přepínačů jsou identita, kroutit a kde je provoz regálu.

Přepínač definuje blokování, pokud jsou operace invertibilní. Všimněte si, že přepínač identity to nedělá.

Biquandles

Biquandle je birack, který splňuje nějakou další strukturu, jako popsáno Nelson a Rische. Axiomy biquandle jsou „minimální“ v tom smyslu, že se jedná o nejslabší omezení, která lze uvést na dvě binární operace, zatímco biquandle virtuálního uzlu je pod pohyby Reidemeister invariantní.

Lineární biquandles

Aplikace na virtuální odkazy a copánky

Birackova homologie

Další čtení

  • [FJK] Roger Fenn, Mercedes Jordan-Santana, Louis Kauffman Bikvandly a virtuální odkazy, Topologie a její aplikace, 145 (2004) 157–175
  • [FRS] Roger Fenn, Colin Rourke Brian Sanderson Úvod do druhů a rackového prostoru v Témata v teorii uzlů (1992), Kluwer 33–55
  • [K] L. H. Kauffman, Teorie virtuálních uzlů, European Journal of Combinatorics 20 (1999), 663–690.