Biquandle - Biquandle

v matematika, bikvandly a biracks jsou sady s binárními operacemi, které zobecňují quandles a regály. Biquandles se v teorii virtuální uzly, místo, které quandles zaujímá v teorii klasiky uzly. Biracks a regály mají stejný vztah, zatímco biquandle je birack, který splňuje některé další podmínky.

Definice

Biquandles a biracks mají dvě binární operace na sadě ${displaystyle X}$ psaný ${displaystyle a ^ {b}}$ a ${displaystyle a_ {b}}$. Ty splňují následující tři axiomy:

1. ${displaystyle a ^ {bc_ {b}} = {a ^ {c}} ^ {b ^ {c}}}$

2. ${displaystyle {a_ {b}} _ {c_ {b}} = {a_ {c}} _ {b ^ {c}}}$

3. ${displaystyle {a_ {b}} ^ {c_ {b}} = {a ^ {c}} _ {b ^ {c}}}$

Tyto identity se objevily v roce 1992 v odkazu [FRS], kde byl objekt nazýván druhem.

Zde je užitečná notace horního a dolního indexu, protože odpadá nutnost použití závorek. Například když píšeme ${displaystyle a * b}$ pro ${displaystyle a_ {b}}$ a ${displaystyle a ** b}$ pro ${displaystyle a ^ {b}}$ pak se stanou tři výše uvedené axiomy

1. ${displaystyle (a ** b) ** (c * b) = (a ** c) ** (b ** c)}$

2. ${displaystyle (a * b) * (c * b) = (a * c) * (b ** c)}$

3. ${displaystyle (a * b) ** (c * b) = (a ** c) * (b ** c)}$

Pokud navíc tyto dvě operace jsou invertibilní, to je dáno ${displaystyle a, b}$ v sadě ${displaystyle X}$ existují jedinečné ${displaystyle x, y}$ v sadě ${displaystyle X}$ takhle ${displaystyle x ^ {b} = a}$ a ${displaystyle y_ {b} = a}$ pak sada ${displaystyle X}$ společně se dvěma operacemi definují a birack.

Například pokud ${displaystyle X}$, s operací ${displaystyle a ^ {b}}$, je nosič pak je to únos, pokud definujeme druhou operaci jako identita, ${displaystyle a_ {b} = a}$.

Pro únos funkce ${displaystyle S: X ^ {2} ightarrow X ^ {2}}$ lze definovat pomocí

${displaystyle S (a, b_ {a}) = (b, a ^ {b}).,}$

Pak

1. ${displaystyle S}$ je bijekce

2. ${displaystyle S_ {1} S_ {2} S_ {1} = S_ {2} S_ {1} S_ {2},}$

Ve druhé podmínce ${displaystyle S_ {1}}$ a ${displaystyle S_ {2}}$ jsou definovány ${displaystyle S_ {1} (a, b, c) = (S (a, b), c)}$ a ${displaystyle S_ {2} (a, b, c) = (a, S (b, c))}$. Tato podmínka je někdy známá jako set-teoretický Yang-Baxter rovnice.

Chcete-li vidět, že 1. je pravda, všimněte si, že ${displaystyle S '}$ definován

${displaystyle S '(b, a ^ {b}) = (a, b_ {a}),}$

je inverzní k

${displaystyle S,}$

Abychom viděli, že 2. je pravda, sledujme postup trojky ${displaystyle (c, b_ {c}, a_ {bc ^ {b}})}$ pod ${displaystyle S_ {1} S_ {2} S_ {1}}$. Tak

${displaystyle (c, b_ {c}, a_ {bc ^ {b}}) o (b, c ^ {b}, a_ {bc ^ {b}}) o (b, a_ {b}, c ^ { ba_ {b}}) o (a, b ^ {a}, c ^ {ba_ {b}}).}$

Na druhou stranu, ${displaystyle (c, b_ {c}, a_ {bc ^ {b}}) = (c, b_ {c}, a_ {cb_ {c}})}$. Jeho pokrok pod ${displaystyle S_ {2} S_ {1} S_ {2}}$ je

${displaystyle (c, b_ {c}, a_ {cb_ {c}}) o (c, a_ {c}, {b_ {c}} ^ {a_ {c}}) o (a, c ^ {a} , {b_ {c}} ^ {a_ {c}}) = (a, c ^ {a}, {b ^ {a}} _ {c ^ {a}}) o (a, b_ {a}, c_ {ab_ {a}}) = (a, b ^ {a}, c ^ {ba_ {b}}).}$

Žádný ${displaystyle S}$ uspokojující 1. 2. se říká, že a přepínač (předchůdce biquandles a biracks).

Příklady přepínačů jsou identita, kroutit ${displaystyle T (a, b) = (b, a)}$ a ${displaystyle S (a, b) = (b, a ^ {b})}$ kde ${displaystyle a ^ {b}}$ je provoz regálu.

Přepínač definuje blokování, pokud jsou operace invertibilní. Všimněte si, že přepínač identity to nedělá.

Biquandles

Biquandle je birack, který splňuje nějakou další strukturu, jako popsáno Nelson a Rische. Axiomy biquandle jsou „minimální“ v tom smyslu, že se jedná o nejslabší omezení, která lze uvést na dvě binární operace, zatímco biquandle virtuálního uzlu je pod pohyby Reidemeister invariantní.

Lineární biquandles

Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Listopadu 2014)

Aplikace na virtuální odkazy a copánky

Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Listopadu 2014)

Birackova homologie

Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Listopadu 2014)

Další čtení

• [FJK] Roger Fenn, Mercedes Jordan-Santana, Louis Kauffman Bikvandly a virtuální odkazy, Topologie a její aplikace, 145 (2004) 157–175
• [FRS] Roger Fenn, Colin Rourke Brian Sanderson Úvod do druhů a rackového prostoru v Témata v teorii uzlů (1992), Kluwer 33–55
• [K] L. H. Kauffman, Teorie virtuálních uzlů, European Journal of Combinatorics 20 (1999), 663–690.