Biquandle - Biquandle
v matematika, bikvandly a biracks jsou sady s binárními operacemi, které zobecňují quandles a regály. Biquandles se v teorii virtuální uzly, místo, které quandles zaujímá v teorii klasiky uzly. Biracks a regály mají stejný vztah, zatímco biquandle je birack, který splňuje některé další podmínky.
Definice
Biquandles a biracks mají dvě binární operace na sadě psaný a . Ty splňují následující tři axiomy:
1.
2.
3.
Tyto identity se objevily v roce 1992 v odkazu [FRS], kde byl objekt nazýván druhem.
Zde je užitečná notace horního a dolního indexu, protože odpadá nutnost použití závorek. Například když píšeme pro a pro pak se stanou tři výše uvedené axiomy
1.
2.
3.
Pokud navíc tyto dvě operace jsou invertibilní, to je dáno v sadě existují jedinečné v sadě takhle a pak sada společně se dvěma operacemi definují a birack.
Například pokud , s operací , je nosič pak je to únos, pokud definujeme druhou operaci jako identita, .
Pro únos funkce lze definovat pomocí
Pak
1. je bijekce
2.
Ve druhé podmínce a jsou definovány a . Tato podmínka je někdy známá jako set-teoretický Yang-Baxter rovnice.
Chcete-li vidět, že 1. je pravda, všimněte si, že definován
je inverzní k
Abychom viděli, že 2. je pravda, sledujme postup trojky pod . Tak
Na druhou stranu, . Jeho pokrok pod je
Žádný uspokojující 1. 2. se říká, že a přepínač (předchůdce biquandles a biracks).
Příklady přepínačů jsou identita, kroutit a kde je provoz regálu.
Přepínač definuje blokování, pokud jsou operace invertibilní. Všimněte si, že přepínač identity to nedělá.
Biquandles
Biquandle je birack, který splňuje nějakou další strukturu, jako popsáno Nelson a Rische. Axiomy biquandle jsou „minimální“ v tom smyslu, že se jedná o nejslabší omezení, která lze uvést na dvě binární operace, zatímco biquandle virtuálního uzlu je pod pohyby Reidemeister invariantní.
Lineární biquandles
![]() | Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Listopadu 2014) |
Aplikace na virtuální odkazy a copánky
![]() | Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Listopadu 2014) |
Birackova homologie
![]() | Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Listopadu 2014) |
Další čtení
- [FJK] Roger Fenn, Mercedes Jordan-Santana, Louis Kauffman Bikvandly a virtuální odkazy, Topologie a její aplikace, 145 (2004) 157–175
- [FRS] Roger Fenn, Colin Rourke Brian Sanderson Úvod do druhů a rackového prostoru v Témata v teorii uzlů (1992), Kluwer 33–55
- [K] L. H. Kauffman, Teorie virtuálních uzlů, European Journal of Combinatorics 20 (1999), 663–690.