Virtuální uzel - Virtual knot

Nevyřešený problém v matematice:

[Rozšíření Jonesova polynomu na obecné 3-variet.] Může originál Jonesův polynom, který je definován pro 1-články ve 3-sféře (3-koule, 3-prostor R3), být rozšířen pro 1-články v jakémkoli 3-potrubí?

(více nevyřešených úloh z matematiky)

v teorie uzlů, a virtuální uzel je zobecnění uzlů v 3-dimenzionálním Euklidovský prostor, $R 3$ , na uzly na zesílených površích ${ displaystyle Sigma krát [0,1]}$ modulo vztah ekvivalence zvaný stabilizace / destabilizace. Tady ${ displaystyle Sigma}$ musí být uzavřený a orientovaný. Virtuální uzly poprvé představil Kauffman (1999).

Přehled

V teorii klasických uzlů lze uzly považovat za třídy ekvivalence uzlových diagramů pod Reidemeister se pohybuje. Podobně lze virtuální uzel považovat za rovnocennost diagramů virtuálních uzlů, které jsou ekvivalentní v rámci zobecněných tahů Reidemeister. Virtuální uzly umožňují existenci například uzlů, jejichž Gaussovy kódy nemohou existovat v trojrozměrném Euklidovský prostor. Virtuální uzlový diagram je čtyřmocný rovinný graf, ale každý vrchol nyní může být klasickým křížením nebo novým typem zvaným virtuální. Zobecněné pohyby ukazují, jak manipulovat s takovými diagramy, aby se získal ekvivalentní diagram; jeden tah zvaný semi-virtuální tah zahrnuje klasické i virtuální křížení, ale všechny ostatní pohyby zahrnují pouze jednu paletu křížení.

Virtuální uzly jsou důležité a je mezi nimi silný vztah Teorie kvantového pole a virtuální uzly.

Virtuální uzly samy o sobě jsou fascinující objekty a mají mnoho souvislostí s jinými oblastmi matematiky. Virtuální uzly mají mnoho vzrušujících spojení s jinými poli teorie uzlů. Uvedený nevyřešený problém je důležitou motivací ke studiu virtuálních uzlů.

Viz část 1.1 tohoto příspěvku [KOS]^[1]pro pozadí a historii tohoto problému. Kauffman předložil řešení v případě produktového potrubí uzavřeného orientovaného povrchu a uzavřeného intervalu zavedením virtuálních 1 uzlů.^[2]V ostatních případech je otevřený. Wittenova cesta integrální pro Jonesův polynom je napsána pro odkazy v jakémkoli kompaktním 3-varietě formálně, ale počet se nedělá ani na úrovni fyziky v žádném případě kromě 3-koule (3-koule, 3-prostor R3). Tento problém je otevřený také na úrovni fyziky. V případě Alexanderova polynomu je tento problém vyřešen.

Klasický uzel lze také považovat za třídu ekvivalence Gaussovy diagramy za určitých tahů vycházejících z tahů Reidemeister. Ne všechny Gaussovy diagramy lze realizovat jako uzlové diagramy, ale uvažováním Všechno tříd ekvivalence Gaussových diagramů získáme virtuální uzly.

Klasický uzel lze považovat za třídu izotopu prostředí vložení kruhu do zesílené 2 koule. To lze zobecnit zvážením takových tříd vložení do zesílených povrchů vyšších rodů. To není přesně to, co chceme, protože přidáním úchytu k (tlustému) povrchu se vytvoří vložení původního uzlu vyššího rodu. Přidání úchytu se nazývá stabilizace a reverzní destabilizace procesu. Virtuální uzel lze tedy považovat za okolní izotopy třída vložení kruhu do zesílených ploch s ekvivalencí danou (de) stabilizací.

Některé základní věty týkající se klasických a virtuálních uzlů:

Pokud jsou dva klasické uzly ekvivalentní jako virtuální uzly, jsou ekvivalentní jako klasické uzly.
Existuje algoritmus k určení, zda je virtuální uzel klasický.
Existuje algoritmus k určení, zda jsou dva virtuální uzly ekvivalentní.

Je důležité, aby existoval vztah mezi následujícími. Viz článek [KOS] citovaný výše a níže.

Virtuální ekvivalence diagramů virtuálních 1 uzlů, což je sada virtuálních 1 uzlů.
Svařovaná ekvivalence virtuálních 1-uzlových diagramů
Rotačně svařovaná ekvivalence virtuálních 1-uzlových diagramů
Fiberwise ekvivalence virtuálních 1-uzlových diagramů

Virtuální 2 uzly jsou také definovány. Viz výše citovaný článek.

Viz také

Uzly a grafy

Reference

^ Kauffman, L.H .; Ogasa, E; Schneider, J (2018), Rotující konstrukce pro virtuální 1 uzly a 2 uzly a vláknová a svařovaná ekvivalence virtuálních 1 uzlů, arXiv:1808.03023
^ Kauffman, L.E. (1998), Přednášky na zasedání MSRI v lednu 1997, setkání AMS na University of Maryland, College Park v březnu 1997, přednáška institutu Isaaca Newtona v listopadu 1997, uzly na Hellasu v řeckém Delphi v červenci 1998, sympozium APCTP-NANKAI o systémech Yang-Baxter „Nelineární modely a aplikace v korejském Soulu v říjnu 1998 a dále uvedený Kauffmanův článek 1999., arXiv:matematika / 9811028

Boden, Hans; Nagel, Matthias (2017). Msgstr "Skupina shody virtuálních uzlů". Proc. Amer. Matematika. Soc. 145 (12): 5451–5461. doi:10.1090 / proc / 13667. S2CID 119139769.
Carter, J. Scott; Kamada, Seiichi; Saito, Masahico (2002). "Stabilní ekvivalence uzlů na površích a cobordismů virtuálních uzlů. Knots 2000 Korea, Vol. 1 (Yongpyong)". Důsledky teorie J. Knota. 11 (3): 311–322.
Carter, J. Scott; Silver, Daniel; Williams, Susan (2014). "Invarianty odkazů v zesílených plochách". Alg. Geom. Topologie. 14 (3): 1377–1394. doi:10.2140 / agt.2014.14.1377. S2CID 53137201.
Dye, Heather A (2016). Teorie pozvánky na uzel: Virtuální a klasická (První vydání). Chapman and Hall / CRC. ISBN 9781315370750.
Goussarov, Michail; Polyak, Michael; Viro, Oleg (2000). "Konečníkový invarianty klasických a virtuálních uzlů". Topologie. 39 (5): 1045–1068. doi:10.1016 / S0040-9383 (99) 00054-3. S2CID 8871411.
Kamada, Naoko; Kamda, Seiichi (2000). Msgstr "Abstraktní spojovací diagramy a virtuální uzly". J. Knot Theory Ramifincations. 9 (1): 93–106. doi:10.1142 / S0218216500000049.
Kauffman, Louis H. (1999). "Virtuální uzel teorie" (PDF). European Journal of Combinatorics. 20 (7): 663–690. doi:10.1006 / eujc.1999.0314. ISSN 0195-6698. PAN 1721925. S2CID 5993431.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Kauffman, Louis H .; Manturov, Vassily Olegovich (2005). Msgstr "Virtuální uzly a odkazy". arXiv:math.GT/0502014.
Kuperberg, Greg (2003). "Co je virtuální odkaz?". Alg. Geom. Topologie. 3: 587–591. doi:10.2140 / agt.2003.3.587. S2CID 16803280.
Manturov, Vassily (2004). Teorie uzlů. CRC Press. ISBN 978-0-415-31001-7.
Manturov, Vassily Olegovich (2004). "Virtuální uzly a nekonečné dimenzionální Lieovy algebry". Acta Applicande Mathematica. 83 (3): 221–233. doi:10.1023 / B: ACAP.0000038944.29820.5e. S2CID 124019548.
Turaev, Vladimir (2008). "Cobordismus uzlů na površích". Topologie. 1 (2): 285–305. arXiv:matematika / 0703055. doi:10.1112 / jtopol / jtn002. S2CID 17888102.</ref>

externí odkazy

[1] Kauffman, L.H .; Ogasa, E; Schneider, J (2018), Rotující konstrukce pro virtuální 1 uzly a 2 uzly a vláknová a svařovaná ekvivalence virtuálních 1 uzlů, arXiv:1808.03023

[2] Kauffman, L.E. (1998), Přednášky na zasedání MSRI v lednu 1997, setkání AMS na University of Maryland, College Park v březnu 1997, přednáška institutu Isaaca Newtona v listopadu 1997, uzly na Hellasu v řeckém Delphi v červenci 1998, sympozium APCTP-NANKAI o systémech Yang-Baxter „Nelineární modely a aplikace v korejském Soulu v říjnu 1998 a dále uvedený Kauffmanův článek 1999., arXiv:matematika / 9811028

[1]

[2]