Biortogonální systém - Biorthogonal system

v matematika, a biortogonální systém je pár indexované rodiny vektorů

${ displaystyle { tilde {v}} _ {i}}$ v E a ${ displaystyle { tilde {u}} _ {i}}$ v F

takhle

${ displaystyle left langle { tilde {v}} _ {i}, { tilde {u}} _ {j} right rangle = delta _ {i, j},}$

kde E a F tvoří pár topologické vektorové prostory které jsou v dualita, ⟨·,·⟩ je bilineární mapování a ${ displaystyle delta _ {i, j}}$ je Kroneckerova delta.

Příkladem je dvojice sad příslušně vlevo a vpravo vlastní vektory matice indexované vlastní číslo, pokud jsou vlastní čísla odlišná.^[1]

Biortogonální systém, ve kterém E = F a ${ displaystyle { tilde {v}} _ {i} = { tilde {u}} _ {i}}$ je ortonormální systém.

Projekce

S biortogonálním systémem souvisí projekce

${ displaystyle P: = sum _ {i in I} { tilda {u}} _ {i} otimes { tilde {v}} _ {i}}$,

kde ${ displaystyle left (u otimes v right) (x): = u langle v, x rangle}$; jeho obraz je lineární rozpětí z ${ displaystyle left {{ tilde {u}} _ {i}: i in I right }}$a jádro je ${ displaystyle left { left langle { tilde {v}} _ {i}, cdot right rangle = 0: i in I right }}$.

Konstrukce

Vzhledem k možné neortogonální sadě vektorů ${ displaystyle mathbf {u} = (u_ {i})}$ a ${ displaystyle mathbf {v} = doleva (v_ {i} doprava)}$ související projekce je

${ displaystyle P = součet _ {i, j} u_ {i} vlevo ( langle mathbf {v}, mathbf {u} rangle ^ {- 1} vpravo) _ {j, i} další v_ {j}}$,

kde ${ displaystyle langle mathbf {v}, mathbf {u} rangle}$ je matice se záznamy ${ displaystyle left ( langle mathbf {v}, mathbf {u} rangle right) _ {i, j} = left langle v_ {i}, u_ {j} right rangle}$.

• ${ displaystyle { tilde {u}} _ {i}: = (I-P) u_ {i}}$, a ${ displaystyle { tilde {v}} _ {i}: = left (I-P right) ^ {*} v_ {i}}$ pak je to biortogonální systém.

Viz také

• Duální základ
• Duální prostor
• Dvojitý pár
• Ortogonalita
• Ortogonalizace

Reference

• Jean Dieudonné, Na biortogonálních systémech Michigan Math. J. 2 (1953), č. 2 1, 7–20 [1]