Bhaskarasovo lemma - Bhaskaras lemma - Wikipedia

Bhaskara Lemma je identita používaná jako lemma Během metoda chakravala. Uvádí, že:

${ displaystyle , Nx ^ {2} + k = y ^ {2} znamená , N vlevo ({ frac {mx + y} {k}} vpravo) ^ {2} + { frac { m ^ {2} -N} {k}} = left ({ frac {my + Nx} {k}} right) ^ {2}}$

pro celá čísla ${ displaystyle m, , x, , y, , N,}$ a nenulové celé číslo ${ displaystyle k}$.

Důkaz

Důkaz vyplývá z jednoduchých algebraických manipulací takto: vynásobte obě strany rovnice ${ displaystyle m ^ {2} -N}$, přidat ${ displaystyle N ^ {2} x ^ {2} + 2Nmxy + Ny ^ {2}}$, faktor a vydělte ${ displaystyle k ^ {2}}$.

${ displaystyle , Nx ^ {2} + k = y ^ {2} implikuje Nm ^ {2} x ^ {2} -N ^ {2} x ^ {2} + k (m ^ {2} - N) = m ^ {2} y ^ {2} -Ny ^ {2}}$

${ displaystyle implikuje Nm ^ {2} x ^ {2} + 2Nmxy + Ny ^ {2} + k (m ^ {2} -N) = m ^ {2} y ^ {2} + 2Nmxy + N ^ {2} x ^ {2}}$

${ displaystyle implikuje N (mx + y) ^ {2} + k (m ^ {2} -N) = (můj + Nx) ^ {2}}$

${ displaystyle implikuje , N vlevo ({ frac {mx + y} {k}} vpravo) ^ {2} + { frac {m ^ {2} -N} {k}} = vlevo ({ frac {my + Nx} {k}} vpravo) ^ {2}.}$

Pokud však ani jeden ${ displaystyle k}$ ani ${ displaystyle m ^ {2} -N}$ jsou nulové, implikace jde oběma směry. (Lema platí pro reálná nebo komplexní čísla i celá čísla.)

Reference

• C. O. Selenius, „Odůvodnění chakravala procesu Jayadeva a Bhaskara II“, Historia Mathematica, 2 (1975), 167-184.
• C. O. Selenius, Kettenbruch teoretische Erklarung der zyklischen Methode zur Losung der Bhaskara-Pell-GleichungActa Acad. Abo. Matematika. Phys. 23 (10) (1963).
• George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (1975).

externí odkazy

• Úvod do chakravaly