Kvadratický test Frobenius - Quadratic Frobenius test

The kvadratický Frobeniův test (QFT) je pravděpodobnostní test primality otestovat, zda je číslo a pravděpodobný prime. Je pojmenován po Ferdinand Georg Frobenius. Test využívá pojmy kvadratické polynomy a Frobenius automorfismus. To by nemělo být zaměňováno s obecnějším Frobeniova zkouška pomocí kvadratického polynomu - QFT omezuje povolené polynomy na základě vstupu a má také další podmínky, které musí být splněny. A kompozitní absolvování tohoto testu je a Frobenius pseudoprime, ale konverzace nemusí být nutně pravdivá.

Pojem

Granthamovým stanoveným cílem při vývoji algoritmu bylo poskytnout test, který prvočísla vždy projdou a kompozity projdou s pravděpodobností menší než 1/7710.^[1]^:33

Test byl později rozšířen o Damgård a Frandsen k testu rozšířený kvadratický test Frobenius (EQFT).^[2]

Algoritmus

Nechat $n$ být kladné celé číslo takové, že $n$ je zvláštní, ${ displaystyle left ({ frac {b ^ {2} + 4c} {n}} right) = - 1}$ a ${ displaystyle left ({ frac {-c} {n}} right) = 1}$ , kde ${ displaystyle left ({ frac {x} {n}} right)}$ označuje Jacobi symbol. Soubor ${ displaystyle B = 50 000}$ . Pak QFT na $n$ s parametry ( $b$ , $C$ ) funguje následovně:

(1) Vyzkoušejte, zda je jedna z prvočísel nižší nebo rovna nižší ze dvou hodnot

{ displaystyle B}

a

{ displaystyle { sqrt {n}}}

rozděluje

n

. Pokud ano, pak přestaňte jako

n

je složený.

(2) Vyzkoušejte, zda

{ displaystyle { sqrt {n}} in mathbb {Z}}

. Pokud ano, pak přestaňte jako

n

je složený.

(3) Vypočítat

{ displaystyle x ^ {n + 1 nad 2} , { bmod {,}} { big (} n, x ^ {2} -bx-c)}

. Li

{ displaystyle x ^ {n + 1 přes 2} notin mathbb {Z} { big /} n mathbb {Z}}

pak zastavit jako

n

je složený.

(4) Vypočítat

{ displaystyle x ^ {n + 1} , { bmod {,}} { big (} n, x ^ {2} -bx-c)}

. Li

{ displaystyle x ^ {n + 1} not equiv -c}

pak zastavit jako

n

je složený.

(5) Nechat

{ displaystyle n ^ {2} -1 = 2 ^ {r} s}

s

s

zvláštní. Li

{ displaystyle x ^ {s} not equiv 1 { bmod {,}} { big (} n, x ^ {2} -bx-c)}

, a

{ displaystyle x ^ {2 ^ {j} s} not equiv -1 { bmod {,}} { big (} n, x ^ {2} -bx-c)}

pro všechny

{ displaystyle 0 leq j leq r-2}

, pak zastavte jako

n

je složený.

Pokud QFT nekončí v krocích (1) - (5) $n$ je pravděpodobné prvočíslo.

(Zápis ${ displaystyle A equiv B { bmod {,}} (n, , f (x))}$ znamená, že ${ displaystyle A-B = H (x) cdot n + K (x) cdot f (x)}$ , kde H a K jsou polynomy.)

Viz také

Reference

^ Grantham, J. (1998). „Pravděpodobný primární test s vysokou důvěrou“. Žurnál teorie čísel. 72 (1): 32–47. CiteSeerX 10.1.1.56.8827. doi:10.1006 / jnth.1998.2247.
^ Damgård, Ivan Bjerre; Frandsen, Gudmund Skovbjerg (2003). Rozšířený kvadratický test primitivnosti Frobenius s průměrnými a nejhoršími odhady chyb (PDF). Přednášky z informatiky. Základy teorie výpočtu. 2751. Springer Berlin Heidelberg. str. 118–131. doi:10.1007/978-3-540-45077-1_12. ISBN 978-3-540-45077-1. ISSN 1611-3349.

[Grantham-1] Grantham, J. (1998). „Pravděpodobný primární test s vysokou důvěrou“. Žurnál teorie čísel. 72 (1): 32–47. CiteSeerX 10.1.1.56.8827. doi:10.1006 / jnth.1998.2247.

[DamFran-2] Damgård, Ivan Bjerre; Frandsen, Gudmund Skovbjerg (2003). Rozšířený kvadratický test primitivnosti Frobenius s průměrnými a nejhoršími odhady chyb (PDF). Přednášky z informatiky. Základy teorie výpočtu. 2751. Springer Berlin Heidelberg. str. 118–131. doi:10.1007/978-3-540-45077-1_12. ISBN 978-3-540-45077-1. ISSN 1611-3349.

[1]

[2]

Teoretické číslo algoritmy
Testy originality	AKS APR Baillie – PSW Eliptická křivka Pocklington Fermat Lucas Lucas – Lehmer Lucas – Lehmer – Riesel Prothova věta Pépin Kvadratický Frobenius Solovay – Strassen Miller – Rabin
Generování Prime	Síto z Atkinu Síto Eratosthenes Síto Sundaram Faktorizace kola
Faktorizace celého čísla	Pokračující frakce (CFRAC) Dixonův Lenstra eliptická křivka (ECM) Euler Pollardův rho str − 1 str + 1 Kvadratické síto (QS) Obecné číslo pole síto (GNFS) Speciální pole s číslem pole (SNFS) Racionální síto Fermat Shanksovy čtvercové tvary Zkušební rozdělení Shor
Násobení	Staroegyptský Dlouho Karatsuba Toom – Cook Schönhage – Strassen Fürer
Euklidovský divize	Binární Kouskování Fourier Goldschmidt Newton-Raphson Dlouho Krátký SRT
Diskrétní logaritmus	Baby-step obří krok Pollard rho Pollard klokan Pohlig – Hellman Indexový počet Síto funkčního pole
Největší společný dělitel	Binární Euklidovský Rozšířený euklidovský Lehmer
Modulární druhá odmocnina	Cipolla Pocklington Tonelli – Shanks Berlekamp
Další algoritmy	Chakravala Cornacchia Umocňování čtvercem Celočíselná odmocnina Celočíselný vztah (JÁ BUDU ) Modulární umocňování Montgomeryho redukce Schoof
Kurzíva označují, že algoritmus je pro počet speciálních formulářů