Bethe mříž - Bethe lattice - Wikipedia

Mřížka Bethe s koordinačním číslem z = 3

A Bethe mříž, představil Hans Bethe v roce 1935, je nekonečný připojený bezcyklový graf kde všechny vrcholy mají stejnou valenci. Tj. Každý uzel je připojen k z sousedé; z se nazývá koordinační číslo. Když je jeden uzel vybrán jako kořen, všechny ostatní uzly jsou uspořádány ve skořápkách kolem tohoto kořenového uzlu, který se pak také nazývá počátek mřížky. Počet uzlů v kth shell je dán

${ displaystyle , N_ {k} = z (z-1) ^ {k-1} { text {pro}} k> 0.}$

(Všimněte si, že mřížka Bethe je ve skutečnosti bez kořenů strom, protože jakýkoli vrchol bude sloužit stejně dobře jako kořen.)

V některých situacích je definice upravena tak, aby určovala, že má kořenový uzel z - 1 sousedé.^{[Citace je zapotřebí ]}

Díky své výrazné topologické struktuře statistická mechanika z příhradové modely na tomto grafu jsou často přesně řešitelné. Řešení se týkají často používaných Přibližně pro tyto systémy.

Vztah k Cayleyovým grafům a Cayleyovým stromům

Mřížka Bethe, kde je každý uzel spojen s 2n ostatní jsou v zásadě Cayleyův graf a volná skupina na n generátory. Je to nekonečný strom Cayley.

Prezentace skupiny G podle n generátory odpovídají a surjektivní mapa z bezplatné skupiny na n generátory do skupiny G, a na úrovni Cayleyových grafů na mapu z mřížky Bethe (s rozlišujícím kořenem odpovídajícím identitě) do Cayleyova grafu. To lze také interpretovat (v algebraická topologie ) jako univerzální kryt Cayleyova grafu, což obecně není jednoduše připojeno.

Mřížka Bethe je definována svým koordinačním číslem. Je to nezakořeněný strom, protože každý vrchol je totožný s z sousedé. Nemá také žádný povrch, protože se rozšiřuje do nekonečna. Na druhé straně má strom Cayley kořen a vysoce nezanedbatelný povrch.

Kořen stromu Cayley, stejně jako všechny jeho uzly kromě listů, má valenci z (listy mají valenci 1). Nekonečný strom Cayley nemá listy, takže všechny jeho uzly mají valenci z. Definujte připojení uzlu jako počet hran s ním spojených. Vzhledem k tomu, že neexistují žádné vlastní hrany a nanejvýš jedna hrana spojující jakékoli dva uzly, je to stejné jako počet odlišných uzlů, ke kterým je spojena hranou. Pro (konečný) Cayleyův strom tedy průměrná konektivita C uzlu je stejný jako jeho průměrný stupeň, viz.

${ displaystyle , c = { frac {2E} {V}} = { frac {2 (V-1)} {V}} = 2 - { frac {2} {V}};}$

zatímco průměrná konektivita mřížky Bethe (nekonečný Cayleyův strom) je spravedlivá z.

Mříže v Lieových skupinách

Bethe mřížky také vyskytují jako diskrétní podskupiny jisté hyperbolické Lež skupiny, tak jako Fuchsijské skupiny. Jako takové jsou také mřížemi ve smyslu a mříž ve skupině Lie.

Viz také

• Krystal

Reference

• Bethe, H. A. (1935). "Statistická teorie superlatic". Proc. Roy. Soc. Lond. A. 150: 552–575. Bibcode:1935RSPSA.150..552B. doi:10.1098 / rspa.1935.0122. Zbl  0012.04501.
• Baxter, Rodney J. (1982). Přesně řešené modely ve statistické mechanice. Akademický tisk. ISBN  0-12-083182-1. Zbl  0538.60093.
• Ostilli, M. (2012). „Cayley Trees a Bethe Lattices, stručná analýza pro matematiky a fyziky“. Physica A. 391: 3417. arXiv:1109.6725. Bibcode:2012PhyA..391.3417O. doi:10.1016 / j.physa.2012.01.038.