Bennettsova nerovnost - Bennetts inequality - Wikipedia

v teorie pravděpodobnosti, Bennett nerovnost poskytuje horní hranice na pravděpodobnost že součet nezávislé náhodné proměnné se odchyluje od svého očekávaná hodnota o více než jakoukoli stanovenou částku. Bennettovu nerovnost prokázal George Bennett z University of New South Wales v roce 1962.^[1]

Prohlášení

Nechat $X 1, \dots X n$ být nezávislé náhodné proměnné s konečnou odchylkou a předpokládejme (pro jednoduchost ale bez ztráty obecnosti ) všechny mají nulovou očekávanou hodnotu. Dále předpokládejme $X i \leq A$ téměř jistě pro všechny $i$ a definovat ${ displaystyle S_ {n} = součet _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}$ a ${ displaystyle sigma ^ {2} = součet _ {i = 1} ^ {n} operatorname {E} (X_ {i} ^ {2}).}$ Pak pro všechny $t \geq 0$ ,

{ displaystyle Pr left (S_ {n}> t right) leq exp left (-n { frac { sigma ^ {2}} {a ^ {2}}} h left ({ frac {at} {n sigma ^ {2}}} right) right),}

kde $h (u) = (1 + u) log (1 +.) u) - u$ .^[2]^[3]

Zobecnění a srovnání s jinými mezemi

Zevšeobecnění viz Freedman (1975)^[4] and Fan, Grama and Liu (2012)^[5] pro martingale verze Bennettovy nerovnosti a její zlepšení.

Hoeffdingova nerovnost pouze předpokládá, že summandy jsou ohraničeny téměř jistě, zatímco Bennettova nerovnost nabízí určité zlepšení, když jsou odchylky summandů malé ve srovnání s jejich téměř jistými hranicemi. Avšak Hoeffdingova nerovnost má za následek sub gaussovské ocasy, zatímco obecně má Bennettova nerovnost poissonské ocasy.^{[Citace je zapotřebí ]}V obou nerovnostech, na rozdíl od některých jiných nerovností nebo limitních vět, není požadavek, aby proměnné komponent měly shodné nebo podobné rozdělení.^{[Citace je zapotřebí ]}

Viz také

Koncentrační nerovnost - souhrn zadních hranic náhodných proměnných.

Reference

^ Bennett, G. (1962). "Pravděpodobnostní nerovnosti pro součet nezávislých náhodných proměnných". Journal of the American Statistical Association. 57 (297): 33–45. doi:10.2307/2282438. JSTOR 2282438.
^ Devroye, Luc; Lugosi, Gábor (2001). Kombinatorické metody v odhadu hustoty. Springer. str. 11. ISBN 978-0-387-95117-1.
^ Boucheron, Stephane; Lugosi, Gabor; Massart, Pascal (2013). Koncentrační nerovnosti, nasymptotická teorie nezávislosti. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-953525-5.
^ Freedman, D. A. (1975). "Pravděpodobnosti na ocasu pro martingales". 3. Letopisy pravděpodobnosti: 100–118. JSTOR 2959268. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
^ Fan, X .; Grama, I .; Liu, Q. (2012). "Hoeffdingova nerovnost pro supermartingales". Stochastické procesy a jejich aplikace. 122: 3545–3559. arXiv:1109.4359. doi:10.1016 / j.spa.2012.06.009.

Tento pravděpodobnost související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

[bennett-1] Bennett, G. (1962). "Pravděpodobnostní nerovnosti pro součet nezávislých náhodných proměnných". Journal of the American Statistical Association. 57 (297): 33–45. doi:10.2307/2282438. JSTOR 2282438.

[devroye-2] Devroye, Luc; Lugosi, Gábor (2001). Kombinatorické metody v odhadu hustoty. Springer. str. 11. ISBN 978-0-387-95117-1.

[BLM2013-3] Boucheron, Stephane; Lugosi, Gabor; Massart, Pascal (2013). Koncentrační nerovnosti, nasymptotická teorie nezávislosti. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-953525-5.

[4] Freedman, D. A. (1975). "Pravděpodobnosti na ocasu pro martingales". 3. Letopisy pravděpodobnosti: 100–118. JSTOR 2959268. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

[5] Fan, X .; Grama, I .; Liu, Q. (2012). "Hoeffdingova nerovnost pro supermartingales". Stochastické procesy a jejich aplikace. 122: 3545–3559. arXiv:1109.4359. doi:10.1016 / j.spa.2012.06.009.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]