Rovnice Batchelor – Chandrasekhar - Batchelor–Chandrasekhar equation - Wikipedia

The Rovnice Batchelor – Chandrasekhar je evoluční rovnice pro skalární funkce, definující dvoubodový korelační tenzor rychlosti homogenní osově symetrické turbulence, pojmenované po George Batchelor a Subrahmanyan Chandrasekhar.^[1]^[2]^[3]^[4] Vyvinuli teorii homogenní osově symetrické turbulence na základě Howard P. Robertson Práce na izotropních turbulencích s využitím invariantního principu.^[5] Tato rovnice je rozšířením Kármán – Howarthova rovnice od izotropní po osymetrickou turbulenci.

Matematický popis

Tato teorie je založena na principu, že statistické vlastnosti jsou neměnné pro rotace kolem určitého směru ${ displaystyle { boldsymbol { lambda}}}$ (řekněme) a odrazy v rovinách obsahujících ${ displaystyle { boldsymbol { lambda}}}$ a kolmo na ${ displaystyle { boldsymbol { lambda}}}$ . Tento typ osové symetrie se někdy označuje jako silná osová symetrie nebo osová symetrie v silném smyslu, oproti slabá osová symetrie, kde odrazy v rovinách kolmých na ${ displaystyle { boldsymbol { lambda}}}$ nebo letadla obsahující ${ displaystyle { boldsymbol { lambda}}}$ nejsou povoleny.^[6]

Nechť je dvoubodová korelace pro homogenní turbulenci

{ displaystyle R_ {ij} ( mathbf {r}, t) = { overline {u_ {i} ( mathbf {x}, t) u_ {j} ( mathbf {x} + mathbf {r} , t)}}.}

Jeden skalár popisuje tento korelační tenzor v izotropní turbulenci, zatímco u osově symetrické turbulence se ukazuje, že ke specifikaci tenzoru korelace stačí dvě skalární funkce. Ve skutečnosti, Batchelor nebyl schopen vyjádřit korelační tenzor, pokud jde o dvě skalární funkce, ale přesto skončil se čtyřmi skalárními funkcemi, Chandrasekhar ukázal, že to lze vyjádřit pouze dvěma skalárními funkcemi vyjádřením solenoidního osově symetrického tenzoru jako kučera obecného osově souměrného tenzoru zkosení (reflexně ne invariantního tenzoru).

Nechat ${ displaystyle { boldsymbol { lambda}}}$ být jednotkovým vektorem, který definuje osu symetrie toku, pak máme dvě skalární proměnné, ${ displaystyle mathbf {r} cdot mathbf {r} = r ^ {2}}$ a ${ displaystyle mathbf {r} cdot { boldsymbol { lambda}} = r mu}$ . Od té doby ${ displaystyle | { boldsymbol { lambda}} | = 1}$ , je jasné že ${ displaystyle mu}$ představuje kosinus úhlu mezi ${ displaystyle { boldsymbol { lambda}}}$ a ${ displaystyle mathbf {r}}$ . Nechat ${ displaystyle Q_ {1} (r, mu, t)}$ a ${ displaystyle Q_ {2} (r, mu, t)}$ být dvě skalární funkce, které popisují korelační funkci, pak nejobecnější osově symetrický tenzor, který je solenoidní (nestlačitelný), je dán vztahem,

{ displaystyle R_ {ij} = Ar_ {i} r_ {j} + B delta _ {ij} + C lambda _ {i} lambda _ {j} + D left ( lambda _ {i} r_ {j} + r_ {i} lambda _ {j} vpravo)}

kde

{ displaystyle { begin {aligned} A & = left (D_ {r} -D _ { mu mu} right) Q_ {1} + D_ {r} Q_ {2}, B & = left [ - left (r ^ {2} D_ {r} + r mu D _ { mu} +2 right) + r ^ {2} left (1- mu ^ {2} right) D _ { mu mu} -r mu D _ { mu} doprava] Q_ {1} - doleva [r ^ {2} doleva (1- mu ^ {2} doprava) D_ {r} +1 vpravo] Q_ {2}, C & = - r ^ {2} D _ { mu mu} Q_ {1} + vlevo (r ^ {2} D_ {r} +1 vpravo) Q_ {2} , D & = left (r mu D _ { mu} +1 right) D _ { mu} Q_ {1} -r mu D_ {r} Q_ {2}. End {aligned}}}

Diferenciální operátory, které se objevují ve výše uvedených výrazech, jsou definovány jako

{ displaystyle { begin {zarovnáno} D_ {r} & = { frac {1} {r}} { frac { částečné} { částečné r}} - { frac { mu} {r ^ { 2}}} { frac { částečné} { částečné mu}}, D _ { mu} & = { frac {1} {r}} { frac { částečné} { částečné mu }}, D _ { mu mu} & = D _ { mu} D _ { mu} = { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2}} { částečné mu ^ {2}}}. end {zarovnáno}}}

Pak evoluční rovnice (ekvivalentní forma Kármán – Howarthova rovnice ) pro dvě skalární funkce jsou dány vztahem

{ displaystyle { begin {aligned} { frac { částečné Q_ {1}} { částečné t}} & = 2 nu Delta Q_ {1} + S_ {1}, { frac { částečné Q_ {2}} { částečné t}} & = 2 nu vlevo ( Delta Q_ {2} + 2D _ { mu mu} Q_ {1} vpravo) + S_ {2} konec {zarovnáno }}}

kde ${ displaystyle nu}$ je kinematická viskozita a

{ displaystyle Delta = { frac { částečné ^ {2}} { částečné r ^ {2}}} + { frac {4} {r}} { frac { částečné} { částečné r} } + { frac {1- mu ^ {2}} {r ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2}} { částečné mu ^ {2}}} - { frac { 4 mu} {r ^ {2}}} { frac { částečné} { částečné mu}}.}

Skalární funkce ${ displaystyle S_ {1} (r, mu, t)}$ a ${ displaystyle S_ {2} (r, mu, t)}$ souvisí s trojnásobně korelovaným tenzorem ${ displaystyle S_ {ij}}$ přesně stejným způsobem ${ displaystyle Q_ {1} (r, mu, t)}$ a ${ displaystyle Q_ {2} (r, mu, t)}$ souvisí s dvoubodovým korelovaným tenzorem ${ displaystyle R_ {ij}}$ . Trojnásobně korelovaný tenzor je

{ displaystyle S_ {ij} = { frac { částečné} { částečné r_ {k}}} vlevo ({ overline {u_ {i} ( mathbf {x}, t) u_ {k} ( mathbf {x}, t) u_ {j} ( mathbf {x} + mathbf {r}, t)}} - { overline {u_ {i} ( mathbf {x}, t) u_ {k} ( mathbf {x} + mathbf {r}, t) u_ {j} ( mathbf {x} + mathbf {r}, t)}} vpravo) + { frac {1} { rho} } left ({ frac { overline { částečné p ( mathbf {x}, t) u_ {j} ( mathbf {x} + mathbf {r}, t)}} { částečné r_ {i }}} - { frac { overline { částečné p ( mathbf {x} + mathbf {r}, t) u_ {i} ( mathbf {x}, t)}} { částečné r_ {j }}}že jo).}

Tady ${ displaystyle rho}$ je hustota kapaliny.

Vlastnosti

Stopa korelačního tenzoru se sníží na

{ displaystyle R_ {ii} = r ^ {2} vlevo (1- mu ^ {2} doprava) vlevo (D _ { mu mu} Q_ {1} -D_ {r} Q_ {2} right) -2Q_ {2} -2 left (r ^ {2} D_ {r} + 2r mu D _ { mu} +3 right) Q_ {1}.}

Podmínka homogenity ${ displaystyle R_ {ij} (- mathbf {r}) = R_ {ji} ( mathbf {r})}$ znamená, že obojí ${ displaystyle Q_ {1}}$ a ${ displaystyle Q_ {2}}$ jsou dokonce funkce ${ displaystyle r}$ a ${ displaystyle r mu}$ .

Rozpad turbulencí

Pokud během rozpadu zanedbáme trojité korelační skaláry, pak se rovnice redukují na osově symetrické pětidimenzionální rovnice tepla,

{ displaystyle { begin {aligned} { frac { částečné Q_ {1}} { částečné t}} & = 2 nu Delta Q_ {1}, { frac { částečné Q_ {2} } { částečné t}} & = 2 nu left ( Delta Q_ {2} + 2D _ { mu mu} Q_ {1} right) end {aligned}}}

Řešení těchto pětidimenzionálních tepelných rovnic vyřešil Chandrasekhar. Počáteční podmínky lze vyjádřit pomocí Gegenbauerovy polynomy (bez ztráty obecnosti),

{ displaystyle { begin {aligned} Q_ {1} (r, mu, 0) & = sum _ {n = 0} ^ { infty} q_ {2n} ^ {(1)} (r) C_ {2n} ^ { frac {3} {2}} ( mu), Q_ {2} (r, mu, 0) & = sum _ {n = 0} ^ { infty} q_ { 2n} ^ {(2)} (r) C_ {2n} ^ { frac {3} {2}} ( mu), end {zarovnáno}}}

kde ${ displaystyle C_ {2n} ^ { frac {3} {2}} ( mu)}$ jsou Gegenbauerovy polynomy. Požadovaná řešení jsou

{ displaystyle { begin {aligned} Q_ {1} (r, mu, t) & = { frac {e ^ {- { frac {r ^ {2}} {8 nu t}}}} {32 ( nu t) ^ { frac {5} {2}}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} C_ {2n} ^ { frac {3} {2}} ( mu) int _ {0} ^ { infty} e ^ {- { frac {r '^ {2}} {8 nu t}}} r' ^ {4} q_ {2n} ^ {(1 )} (r ') { frac {I_ {2n + { frac {3} {2}}} left ({ frac {rr'} {4 nu t}} right)} { left ({ frac {rr '} {4 nu t}} right) ^ { frac {3} {2}}}} dr', [8pt] Q_ {2} (r, mu, t) & = { frac {e ^ {- { frac {r ^ {2}} {8 nu t}}}} {32 ( nu t) ^ { frac {5} {2}}}} součet _ {n = 0} ^ { infty} C_ {2n} ^ { frac {3} {2}} ( mu) int _ {0} ^ { infty} e ^ {- { frac { r '^ {2}} {8 nu t}}} r' ^ {4} q_ {2n} ^ {(2)} (r ') { frac {I_ {2n + { frac {3} {2 }}} left ({ frac {rr '} {4 nu t}} right)} { left ({ frac {rr'} {4 nu t}} right) ^ { frac { 3} {2}}}} dr '+ 4 nu int _ {0} ^ {t} { frac {dt'} {[8 pi nu (t-t ')] ^ { frac {5} {2}}}} int cdots int left ({ frac {1} {r ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2} Q_ {1}} { částečné mu ^ {2}}} vpravo) _ {r ', mu', t '} e ^ {- { frac {| r-r' | ^ {2}} {8 nu (t-t ')}}} dx_ {1}' cdots dx_ {5} ', end {zarovnáno}}}

kde ${ displaystyle I_ {2n + { frac {3} {2}}}}$ je Besselova funkce prvního druhu.

Tak jako ${ displaystyle t to infty,}$ řešení se stávají nezávislými na ${ displaystyle mu}$

{ displaystyle { begin {aligned} Q_ {1} (r, mu, t) & to - { frac { Lambda _ {1} e ^ {- { frac {r ^ {2}} { 8 nu t}}}} {48 { sqrt {2 pi}} ( nu t) ^ { frac {5} {2}}}}, Q_ {2} (r, mu, t) & to - { frac { Lambda _ {2} e ^ {- { frac {r ^ {2}} {8 nu t}}}} {48 { sqrt {2 pi}} ( nu t) ^ { frac {5} {2}}}}, end {zarovnáno}}}

kde

{ displaystyle { begin {aligned} Lambda _ {1} & = - int _ {0} ^ { infty} q_ {2n} ^ {(1)} (r) dr Lambda _ { 2} & = - int _ {0} ^ { infty} q_ {2n} ^ {(2)} (r) dr end {zarovnáno}}}

Viz také

Reference

^ Batchelor, G. K. (1946). Teorie osově symetrické turbulence. Proc. R. Soc. Lond. A, 186 (1007), 480–502.
^ Chandrasekhar, S. (1950). Teorie osově symetrické turbulence. Royal Society of London.
^ Chandrasekhar, S. (1950). Rozpad osově symetrické turbulence. Proc. Roy. Soc. A, 203, 358–364.
^ Davidson, P. (2015). Turbulence: úvod pro vědce a inženýry. Oxford University Press, USA. Dodatek 5
^ Robertson, H. P. (1940, duben). Invariantní teorie izotropních turbulencí. In Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society (Vol. 36, No. 2, pp. 209–223). Cambridge University Press.
^ Lindborg, E. (1995). Kinematika homogenní osově symetrické tubulence. Journal of Fluid Mechanics, 302, 179-201.

[1] Batchelor, G. K. (1946). Teorie osově symetrické turbulence. Proc. R. Soc. Lond. A, 186 (1007), 480–502.

[2] Chandrasekhar, S. (1950). Teorie osově symetrické turbulence. Royal Society of London.

[3] Chandrasekhar, S. (1950). Rozpad osově symetrické turbulence. Proc. Roy. Soc. A, 203, 358–364.

[4] Davidson, P. (2015). Turbulence: úvod pro vědce a inženýry. Oxford University Press, USA. Dodatek 5

[5] Robertson, H. P. (1940, duben). Invariantní teorie izotropních turbulencí. In Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society (Vol. 36, No. 2, pp. 209–223). Cambridge University Press.

[6] Lindborg, E. (1995). Kinematika homogenní osově symetrické tubulence. Journal of Fluid Mechanics, 302, 179-201.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]