Základní věty v algebraické K-teorii - Basic theorems in algebraic K-theory

V matematice existuje několik základních vět algebraický K.-teorie.

V celém textu pro zjednodušení předpokládáme, že když přesná kategorie je podkategorií jiné přesné kategorie, myslíme tím, že je přísně úplnou podkategorií (tj. isomorfismus uzavřen.)

Věty

Věta o aditivitě^[1] — Nechat ${ displaystyle B, C}$ být přesné kategorie (nebo jiné varianty). Vzhledem k krátké přesné posloupnosti funktorů ${ displaystyle F ' rightarrowtail F twoheadrightarrow F' '}$ z ${ displaystyle B}$ na ${ displaystyle C}$ , ${ displaystyle F _ {*} simeq F '_ {*} + F' '_ {*}}$ tak jako ${ displaystyle H}$ -prostorové mapy; tudíž, ${ displaystyle F _ {*} = F '_ {*} + F' _ {*}: K_ {i} (B) až K_ {i} (C)}$ .

Věta o lokalizaci zobecňuje věta o lokalizaci pro abelianské kategorie.

Waldhausenova věta o lokalizaci^[2] — Nechat ${ displaystyle A}$ být kategorií s kofibracemi, vybavenou dvěma kategoriemi slabých ekvivalentů, ${ displaystyle v (A) podmnožina w (A)}$ , takový, že ${ displaystyle (A, v)}$ a ${ displaystyle (A, w)}$ jsou kategorie Waldhausen. Převzít ${ displaystyle (A, w)}$ má válcový funktor uspokojení Cylinder Axiom, a to ${ displaystyle w (A)}$ uspokojuje saturační a rozšiřující axiomy. Pak

{ displaystyle K (A ^ {w}) do K (A, v) do K (A, w)}

je homotopická fibrace.

Věta o řešení^[3] — Nechat ${ displaystyle C podmnožina D}$ být přesné kategorie. Převzít

(i) C je uzavřen pod příponami v D a pod jádry přípustných výhrad v D.
(ii) Každý objekt v D připouští rozlišení konečné délky u objektů v C.

Pak ${ displaystyle K_ {i} (C) = K_ {i} (D)}$ pro všechny ${ displaystyle i geq 0}$ .

Nechat ${ displaystyle C podmnožina D}$ být přesné kategorie. Pak C se říká, že je konečný v D pokud (i) je uzavřen pod rozšířením v D a pokud (ii) pro každý objekt M v D tady je N v D takhle ${ displaystyle M oplus N}$ je v C. Prototypem je příklad, kdy C je kategorie bezplatné moduly a D je kategorie projektivní moduly.

Věta o kofinalitě^[4] — Nechat ${ displaystyle (A, v)}$ být kategorií Waldhausen, která má funktor válce splňující Axiom válce. Předpokládejme, že existuje surjektivní homomorfismus ${ displaystyle pi: K_ {0} (A) až G}$ a nechte ${ displaystyle B}$ označují celou podkategorii Waldhausenu všech ${ displaystyle X}$ v ${ displaystyle A}$ s ${ displaystyle pi [X] = 0}$ v ${ displaystyle G}$ . Pak ${ displaystyle v.s.B to v.s.A to BG}$ a jeho přemisťování ${ displaystyle K (B) až K (A) až G}$ jsou homotopické fibrace.