Teorie Auslander – Reiten - Auslander–Reiten theory - Wikipedia

v algebra, Teorie Auslander – Reiten studuje teorie reprezentace z Artinian prsteny pomocí technik, jako je Auslander – Reitenovy sekvence (také zvaný téměř rozdělené sekvence) a Toulec Auslander – Reiten. Teorie Auslander-Reiten byla představena Maurice Auslander a Idun Reiten  (1975 ) a vyvinutý jimi v několika následujících příspěvcích.

Články z průzkumu o teorii Auslander – Reiten viz Auslander (1982), Gabriel (1980), Reiten (1982) a knihu Auslander, Reiten & Smalø (1997). Mnoho z původních článků o teorii Auslander-Reiten je přetištěno v Auslander (1999a, 1999b ).

Téměř rozdělené sekvence

Předpokládejme to R je Artinova algebra. Sekvence

0→ A → B → C → 0

konečně vygenerovaných zbývajících modulů R se nazývá téměř rozdělená sekvence (nebo Auslander – Reitenova sekvence) pokud má následující vlastnosti:

  • Sekvence není rozdělena
  • C je nerozložitelný a jakýkoli homomorfismus z nerozložitelného modulu do C to není faktor izomorfismu B.
  • A je nerozložitelný a jakýkoli homomorfismus z A na nerozložitelný modul, který není izomorfismem B.

Pro jakýkoli konečně vygenerovaný levý modul C to je nerozložitelné, ale ne projektivní, existuje téměř rozdělená sekvence, jak je uvedeno výše, která je jedinečná až do izomorfismu. Podobně pro každý konečně generovaný levý modul A to je nerozložitelné, ale ne injektivní, existuje téměř rozdělená sekvence, jak je uvedeno výše, která je až do izomorfismu jedinečná.

Modul A v téměř rozdělené sekvenci je izomorfní s D Tr C, dvojí z přemístit z C.

Příklad

Předpokládejme to R je prsten k[X]/(Xn) pro pole k a celé číslo n≥1. Nerozložitelné moduly jsou isomorfní s jedním z k[X]/(Xm) pro 1≤ m ≤ na jediný projektivní má m=n. Téměř rozdělené sekvence jsou izomorfní

pro 1 ≤ m < n. První morfismus trvá A do (xa, A) a druhá trvá (b,C) ažb − xc.

Toulec Auslander-Reiten

The Toulec Auslander-Reiten Artinovy ​​algebry má vrchol pro každý nerozložitelný modul a šipku mezi vrcholy, pokud existuje neredukovatelný morfismus mezi odpovídajícími moduly. Má mapu τ = D Tr volal překlad od neprojektivních vrcholů po neinjektivní vrcholy, kde D je dvojí a Tr the přemístit.

Reference

  • Auslander, Maurice (1982), „Funkční přístup k teorii reprezentace“, Reprezentace algeber (Puebla, 1980), Poznámky k přednášce v matematice., 944, Berlín, New York: Springer-Verlag, str. 105–179, doi:10.1007 / BFb0094058, PAN  0672116
  • Auslander, Maurice (1987), „Co, kde a proč téměř rozdělených sekvencí“, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1 (Berkeley, Kalifornie, 1986) „Providence, R.I .: Amer. Matematika. Soc., Str. 338–345, PAN  0934232
  • Auslander, Maurice; Reiten, Idun; Smalø, Sverre O. (1997) [1995], Teorie reprezentace Artinových algeber, Cambridge studia pokročilé matematiky, 36, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-59923-8, PAN  1314422
  • Auslander, Maurice (1999a), Reiten, Idun; Smalø, Sverre O .; Solberg, Øyvind (eds.), Vybraná díla Maurice Auslandera. Část 1 „Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-0998-3, PAN  1674397
  • Auslander, Maurice (1999b), Reiten, Idun; Smalø, Sverre O .; Solberg, Øyvind (eds.), Vybraná díla Maurice Auslandera. Část 2 „Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-1000-2, PAN  1674401
  • Auslander, Maurice; Reiten, Idun (1975), "Teorie reprezentace Artinových algeber. III. Téměř rozdělené sekvence", Komunikace v algebře, 3 (3): 239–294, doi:10.1080/00927877508822046, ISSN  0092-7872, PAN  0379599
  • Gabriel, Peter (1980), „Auslander-Reitenovy sekvence a reprezentace-konečné algebry“, Dlab, Vlastimil; Gabriel, Peter (eds.), Teorie reprezentace, I (Proc. Workshop, Carleton Univ., Ottawa, Ont., 1979), Poznámky k přednášce v matematice., 831, Berlín, New York: Springer-Verlag, s. 1–71, doi:10.1007 / BFb0089778, PAN  0607140
  • Hazewinkel, M. (2001) [1994], „Téměř rozdělená sekvence“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
  • Reiten, Idun (1982), „Využití téměř rozdělených sekvencí v teorii reprezentace Artinových algeber“, Reprezentace algeber (Puebla, 1980), Poznámky k přednášce v matematice., 944, Berlín, New York: Springer-Verlag, str. 29–104, doi:10.1007 / BFb0094057, PAN  0672115

externí odkazy