Appell – Humbertova věta - Appell–Humbert theorem

v matematika, Appell – Humbertova věta popisuje svazky řádků na komplexní torus nebo složité abelianská odrůda Bylo prokázáno, že pro 2-dimenzionální tori Appell  (1891 ) a Humbert  (1893 ) a obecně Lefschetz  (1921 )

Prohlášení

Předpokládejme to T je komplexní torus daný PROTI/U kde U je mřížka ve složitém vektorovém prostoru PROTI. Li H je poustevnický formulář PROTI jehož imaginární část E je nedílnou součástí U×Ua α je mapa z U k jednotkovému kruhu tak, že

${displaystyle alfa (u + v) = e ^ {ipi E (u, v)} alfa (u) alfa (v)}$

pak

${displaystyle alpha (u) e ^ {pi H (z, u) + H (u, u) pi / 2}}$

je 1-cocycle z U definování svazku linek na T. Výslovně je zapnutý svazek řádků T = V / U mohou být konstruovány klesání ze svazku linek PROTI (což je nutně triviální) a a údaje o sestupu, jmenovitě kompatibilní soubor izomorfismů ${displaystyle u ^ {*} {mathcal {O}} _ {V} o {mathcal {O}} _ {V}}$, jeden pro každého u ∈ U. Takové izomorfismy mohou být prezentovány jako neranující holomorfní funkce PROTIa pro každého u výše uvedený výraz je odpovídající holomorfní funkcí.

Appell – Humbertova věta (Mumford 2008 ) říká, že každý řádek je zapnutý T lze takto konstruovat pro jedinečnou volbu H a α splňující výše uvedené podmínky.

Dostatek svazků řádků

Lefschetz dokázal, že linka svazku L, spojené s hermitovskou formou H je dostatek, pokud a pouze pokud H je kladně definitivní, a v tomto případě L³ je velmi bohatá. Důsledkem je, že komplexní torus je algebraický právě tehdy, když existuje pozitivní definitivní hermitovská forma, jejíž imaginární část je integrální na U×U.

Reference

• Appell, P. (1891), "Sur les functiones périodiques de deux variables", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Série IV, 7: 157–219
• Humbert, G. (1893), „Théorie générale des povrchy hyperelliptiques“, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Série IV, 9: 29–170, 361–475
• Lefschetz, Solomon (1921), „O některých číselných invariantech algebraických odrůd s aplikací na abelianské odrůdy“, Transakce Americké matematické společnosti „Providence, R.I .: Americká matematická společnost, 22 (3): 327–406, doi:10.2307/1988897, ISSN  0002-9947, JSTOR  1988897
• Lefschetz, Solomon (1921), „O některých číselných invariantech algebraických odrůd s aplikací na abelianské odrůdy“, Transakce Americké matematické společnosti „Providence, R.I .: Americká matematická společnost, 22 (4): 407–482, doi:10.2307/1988964, ISSN  0002-9947, JSTOR  1988964
• Mumford, David (2008) [1970], Abelianské odrůdy, Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, 5„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-81-85931-86-9, PAN  0282985, OCLC  138290