Akima spline - Akima spline

V aplikované matematice, an Akima spline je typ nevyhlazování spline což dává dobrou shodu křivkám, kde se druhá derivace rychle mění.^[1] Akima spline byl publikován Hiroshi Akima v roce 1970.^[2]

Metoda

Vzhledem k sadě „uzlových“ bodů ${ displaystyle (x_ {i}, y_ {i})}$, Kde ${ displaystyle x_ {i}}$ se přísně zvyšují, spline Akima projde každým z daných bodů. V těchto bodech je jeho sklon, ${ displaystyle s_ {i}}$, je funkcí umístění bodů ${ displaystyle (x_ {i-2}, y_ {i-2})}$ přes ${ displaystyle (x_ {i + 2}, y_ {i + 2})}$. Konkrétně definujeme ${ displaystyle m_ {i}}$ jako sklon úsečky od ${ displaystyle (x_ {i}, y_ {i})}$ na ${ displaystyle (x_ {i + 1}, y_ {i + 1})}$, jmenovitě ${ displaystyle (y_ {i + 1} -y_ {i}) / (x_ {i + 1} -x_ {i})}$. Pak, ${ displaystyle s_ {i}}$ je definována jako následující vážený průměr z ${ displaystyle m_ {i-1}}$ a ${ displaystyle m_ {i}}$:

${ displaystyle s_ {i} = { frac {| m_ {i + 1} -m_ {i} | m_ {i-1} + | m_ {i-1} -m_ {i-2} | m_ {i }} {| m_ {i + 1} -m_ {i} | + | m_ {i-1} -m_ {i-2} |}}}$

Splajn je poté definován jako dílčí kubická funkce, jejíž hodnota je mezi ${ displaystyle x_ {i}}$ a ${ displaystyle x_ {i + 1}}$ je jedinečný kubický polynom ${ displaystyle P (x)}$ který splňuje čtyři omezení: ${ displaystyle P (x_ {i}) = y_ {i}}$, ${ displaystyle P (x_ {i + 1}) = y_ {i + 1}}$, ${ displaystyle P '(x_ {i}) = s_ {i}}$, a ${ displaystyle P '(x_ {i + 1}) = s_ {i + 1}}$.

Akima spline je C¹ diferencovatelná funkce (tj. má spojitou první derivaci), ale obecně bude mít v uzlových bodech diskontinuální druhou derivaci.

Výhodou spirála Akima je skutečnost, že při konstrukci koeficientů interpolačního polynomu mezi libovolnými dvěma uzlovými body používá pouze hodnoty ze sousedních uzlových bodů. To znamená, že neexistuje žádný velký systém rovnic, který by se měl vyřešit, a spirála Akima se vyhne nefyzickým vrtením v oblastech, kde se druhá derivace v základní křivce rychle mění. Možnou nevýhodou spline Akima je to, že má diskontinuální druhou derivaci.^[3]

Reference

externí odkazy

• Online ukázka interpolace spline Akima v TypeScript

Tento článek týkající se matematiky je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.