Nerovnost Ahlswede – Daykin - Ahlswede–Daykin inequality

Základní nástroj v statistická mechanika a pravděpodobnostní kombinatorika (zvláště náhodné grafy a pravděpodobnostní metoda ), Nerovnost Ahlswede – Daykin (Ahlswede & Daykin 1978 ), také známý jako věta o čtyřech funkcích (nebo nerovnost), je korelace -typová nerovnost pro čtyři funkce na konečné distribuční mříž.

Uvádí se v něm, že pokud ${displaystyle f_ {1}, f_ {2}, f_ {3}, f_ {4}}$ jsou nezáporné funkce na konečné distribuční mřížce takové, že

${displaystyle f_ {1} (x) f_ {2} (y) leq f_ {3} (xvee y) f_ {4} (xwedge y)}$

pro všechny X, y tedy v mříži

${displaystyle f_ {1} (X) f_ {2} (Y) leq f_ {3} (Xvee Y) f_ {4} (Xwedge Y)}$

pro všechny podskupiny X, Y mřížky, kde

${displaystyle f (X) = součet _ {xin X} f (x)}$

a

${displaystyle Xvee Y = {xvee ymid xin X, yin Y}}$

${displaystyle Xwedge Y = {xwedge ymid xin X, yin Y}.}$

Nerovnost Ahlswede – Daykin lze použít k poskytnutí krátkého důkazu o obou Holleyova nerovnost a Nerovnost FKG. To také znamená Fishburn – Sheppova nerovnost.

Důkaz naleznete v původním článku (Ahlswede & Daykin 1978 ) nebo (Alon & Spencer 2000 ).

Zobecnění

„Věta o čtyřech funkcích“ byla nezávisle zobecněna na 2k funkce v (Aharoni a Keich 1996 ) a (Rinott & Saks 1991 ).

Reference

• Ahlswede, Rudolf; Daykin, David E. (1978), „Nerovnost vah dvou rodin množin, jejich spojení a průniků“, Teorie pravděpodobnosti a související pole, 43 (3): 183–185, CiteSeerX  10.1.1.380.8629, doi:10.1007 / BF00536201, ISSN  0178-8051, PAN  0491189, S2CID  120659862
• Alon, N .; Spencer, J. H. (2000), Pravděpodobnostní metoda. Druhé vydání. S dodatkem o životě a díle Paula Erdőse., Wiley-Interscience, New York, ISBN  978-0-471-37046-8, PAN  1885388
• Fishburn, P.C. (2001) [1994], „Ahlswede – Daykin nerovnost“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Aharoni, Ron; Keich, Uri (1996), „Zevšeobecnění nerovnosti Ahlswede Daykin“, Diskrétní matematika, 152 (1–3): 1–12, doi:10.1016 / 0012-365X (94) 00294-S
• Rinott, Yosef; Saks, Michael (1991), „Korelační nerovnosti a domněnky pro stálé“, Combinatorica, 13 (3): 269–277, doi:10.1007 / BF01202353, S2CID  206791629