Ahlforsova teorie - Ahlfors theory - Wikipedia

Ahlforsova teorie je matematická teorie, kterou vynalezl Lars Ahlfors jako geometrický protějšek Teorie Nevanlinna. Ahlfors byl jedním ze dvou oceněn úplně první Polní medaile pro tuto teorii v roce 1936.

Lze jej považovat za zobecnění základních vlastností pokrývající mapy na mapy, které jsou v téměř definovaném smyslu „téměř krycími“. Platí pro ohraničené Riemannovy povrchy vybaven konformním Riemannovy metriky.

Předkola

A ohraničený Riemannov povrch X lze definovat jako oblast na a kompaktní povrch Riemann jehož hranice ∂X se skládá z konečně mnoha nesouvislých Jordanových křivek. Ve většině aplikací jsou tyto křivky po částech analytické, ale na těchto křivkách existuje nějaká výslovná podmínka minimální pravidelnosti, která je nezbytná k tomu, aby teorie fungovala; nazývá se to Ahlforova pravidelnost. A konformní Riemannova metrika je definován elementem délky ds který je vyjádřen v konformních lokálních souřadnicích z tak jako ds = ρ(z) |dz|, kde ρ je plynulá pozitivní funkce s izolovanými nulami. Pokud nuly chybí, pak se metrika nazývá hladká. Prvek délky definuje délky opravitelných křivek a oblastí oblastí podle vzorců

${ displaystyle ell ( gamma) = int _ { gamma} rho (z) , | dz |, quad A (D) = int _ {D} rho ^ {2} (x + iy) , dx , dy, quad z = x + iy.}$

Potom je vzdálenost mezi dvěma body definována jako infimum délek křivek spojujících tyto body.

Nastavení a notace

Nechat X a Y být dva ohraničené Riemannovy povrchy, a předpokládejme, že Y je vybaven plynulou (včetně hranice) konformní metriky σ(z) dz. Nechat F být holomorfní mapou z X na Y. Pak existuje zarazit metrika zapnuta X, který je definován

${ displaystyle rho (z) | dz | = sigma (f (z)) | f ^ { prime} (z) || dz |. ,}$

Když X je vybaven touto metrikou, F se stává místní izometrie; to znamená, že délka křivky se rovná délce jejího obrazu. Všechny délky a oblasti na X a Y jsou měřeny s ohledem na tyto dvě metriky.

Li F pošle hranici X na hranici Y, pak F je rozvětvené zakrytí. Zejména,

a) Každý bod má stejný (konečný) počet předobrazů, což počítá multiplicitu. Toto číslo je stupeň krytiny.

b) Riemann – Hurwitzův vzorec má zejména Eulerova charakteristika z X je nanejvýš Eulerova charakteristika Y krát stupeň.

Nyní předpokládejme, že nějaká část hranice X je mapován do vnitřku Y. Tato část se nazývá relativní hranice. Nechat L být délka této relativní hranice.

První hlavní věta

Průměrné krycí číslo je definováno vzorcem

${ displaystyle S = { frac {A (X)} {A (Y)}}.}$

Toto číslo je zevšeobecněním stupně krytí. Podobně pro každou pravidelnou křivku y a pro každý běžný region D v Yjsou definovány průměrné krycí počty:

${ displaystyle S (D) = { frac {A (f ^ {- 1} (D))} {A (D)}}, quad S ( gamma) = { frac { ell (f ^ {-1} ( gamma))} { ell ( gamma)}}.}$

První hlavní věta říká, že pro každý regulární region a každou regulární křivku

${ displaystyle | S-S (D) | leq kL, quad | S-S ( gamma) | leq kL,}$

kde L je délka relativní hranice a k je konstanta, která může záviset pouze naY, σ, D a y, ale je nezávislý na F a X.Když L = 0 tyto nerovnosti se stávají slabým analogem vlastnosti a) krytin.

Druhá hlavní věta

Nechat ρ být negativní Eulerovy charakteristiky (takže ρ = 2 m - 2 pro kouli s m díry). Pak

${ displaystyle max { rho (X), 0 } geq S rho (Y) -kL, ,}$

To má smysl, pouze když ρ(Y)> 0, například když Y je koule se třemi (nebo více) otvory. V tomto případě lze výsledek považovat za zobecnění vlastnosti b) krytin.

Aplikace

Předpokládejme, že teď Z je otevřená Riemannova plocha, například komplexní rovina nebo jednotkový disk, a let Z být vybaven konformní metrikou ds. Říkáme, že (Z,ds) je pravidelně vyčerpatelné pokud narůstá posloupnost ohraničených ploch D_j obsaženo v Z s jejich uzávěry, jejichž svazek v Za tak dále

${ displaystyle { frac { ell ( částečné (D_ {j}))} {A (D_ {j})}} až 0, ; j až infty.}$

Ahlfors dokázal, že složitá rovina s libovolný konformní metrika je pravidelně vyčerpatelná. Tato skutečnost spolu se dvěma hlavními větami implikuje Picardovu větu a druhou hlavní větu Teorie Nevanlinna. Mnoho dalších důležitých zobecnění Picardovy věty lze získat z Ahlforsovy teorie.

Jeden obzvláště pozoruhodný výsledek (předpokládal dříve André Bloch ) je Věta Five Island.

Věta o pěti ostrovech

Nechat D₁,...,D₅ být pět oblastí Jordánu na Riemannově sféře s disjunktními uzávěry. Pak existuje konstanta C, záleží pouze na těchto regionech a má následující vlastnost:

Nechat F být meromorfní funkcí na disku jednotky tak, aby sférický derivát splňuje

${ displaystyle { frac {| f '(0) |} {1+ | f (0) | ^ {2}}} geq c.}$

Pak existuje jednoduše propojená oblast G obsažený v jeho uzávěru na disku jednotky, například F mapy G do jednoho z regionů D_j homeomorfně.

To neplatí pro čtyři regiony. Vezměme si například F(z) = ℘(Kz), kde K. > 0 je libovolně velká a ℘ je Weierstrass eliptická funkce splnění diferenciální rovnice

${ displaystyle ( wp ^ { prime}) ^ {2} = 4 ( wp -e_ {1}) ( wp -e_ {2}) ( wp -e_ {3}).}$

Všechny předobrazy čtyř bodů E₁,E₂,E₃, ∞ jsou vícenásobné, takže pokud vezmeme čtyři disky s disjunktními uzávěry kolem těchto bodů, nebude na žádném z těchto disků homeomorfně žádná oblast, která by byla mapována.

Poznámky

Kromě Ahlforsova originálního deníku,^[1]teorie je vysvětlena v knihách.^[2][3][4]Zjednodušené důkazy o druhé hlavní větě lze nalézt v novinách Toki^[5]a de Thelin.^[6]

Jednoduchý důkaz věty o pěti ostrovech, který se nespoléhal na Ahlforsovu teorii, vyvinul Bergweiler.^[7]

Reference