Adjunktní rovnice - Adjoint equation

An adjointová rovnice je lineární diferenciální rovnice, obvykle odvozeno z jeho původní rovnice pomocí integrace po částech. Hodnoty gradientu s ohledem na konkrétní sledovanou veličinu lze efektivně vypočítat řešením adjointové rovnice. Jsou používány metody založené na řešení adjunktních rovnic optimalizace tvaru křídla, řízení toku kapaliny a kvantifikace nejistoty. Například ${displaystyle dX_ {t} = a (X_ {t}) dt + b (X_ {t}) dW}$ tohle je To stochastická diferenciální rovnice. Nyní pomocí Eulerova schématu integrujeme části této rovnice a dostaneme další rovnici, ${displaystyle X_ {n + 1} = X_ {n} + aDelta t + zeta b {sqrt {Delta t}}}$ , tady ${displaystyle zeta}$ je náhodná proměnná, později jedna je adjunktní rovnice.

Příklad: Advance-Difusion PDE

Zvažte následující lineární, skalární rovnice advekční-difúzní pro prvotní řešení ${displaystyle u ({vec {x}})}$ , v doméně ${displaystyle Omega}$ s Dirichletovy okrajové podmínky:

{displaystyle {egin {aligned} abla cdot left ({vec {c}} u-mu abla uight) & = f, qquad {vec {x}} v Omega, u & = b, qquad {vec {x}} v částečná Omega .end {zarovnáno}}}

Nechť výstup zájmu je následující lineární funkční:

{displaystyle J (u) = int _ {Omega} gu dV.}

Odvodit Slabá forma vynásobením prvotní rovnice váhovou funkcí ${displaystyle w ({vec {x}})}$ a provedení integrace po částech:

{displaystyle {egin {aligned} B (u, w) & = L (w), end {aligned}}}

kde,

{displaystyle {egin {aligned} B (u, w) & = int _ {Omega} wabla cdot left ({vec {c}} u-mu abla uight) dV & = int _ {částečné Omega} wleft ({vec {c}} u-mu abla uight) cdot {vec {n}} dA-int _ {Omega} abla wcdot left ({vec {c}} u-mu abla uight) dV, qquad {ext {(integrace podle dílů )}} L (w) & = int _ {Omega} wf dV.end {zarovnáno}}}

Potom zvažte nekonečně malé narušení ${displaystyle L (w)}$ který produkuje nekonečně malou změnu v ${displaystyle u}$ jak následuje:

{displaystyle {egin {aligned} B (u + u ', w) & = L (w) + L' (w) B (u ', w) & = L' (w) .end {aligned}}}

Všimněte si, že narušení řešení ${displaystyle u '}$ musí zmizet na hranici, protože Dirichletova okrajová podmínka nepřipouští variace na ${displaystyle partial Omega}$ .

Pomocí výše uvedené slabé formy a definice adjunktu ${displaystyle psi ({vec {x}})}$ uvedeny níže:

{displaystyle {egin {zarovnáno} L '(psi) & = J (u') B (u ', psi) & = J (u'), konec {zarovnáno}}}

získáváme:

{displaystyle {egin {aligned} int _ {částečné Omega} psi vlevo ({vec {c}} u'-mu abla u'ight) cdot {vec {n}} dA-int _ {Omega} abla psi cdot vlevo ( {vec {c}} u'-mu abla u'ight) dV & = int _ {Omega} gu 'dV.end {zarovnáno}}}

Dále použijte integraci po částech k přenosu derivátů ${displaystyle u '}$ na deriváty ${displaystyle psi}$ :

{displaystyle {egin {aligned} int _ {částečné Omega} psi vlevo ({vec {c}} u'-mu abla u'ight) cdot {vec {n}} dA-int _ {Omega} abla psi cdot vlevo ( {vec {c}} u'-mu abla u'ight) dV-int _ {Omega} gu 'dV & = 0 int _ {částečné Omega} psi vlevo ({vec {c}} u'-mu abla u' ight) cdot {vec {n}} dA + int _ {Omega} u'left (- {vec {c}} cdot abla psi ight) dV + int _ {Omega} abla u'cdot vlevo (mu abla psi ight) dV-int _ {Omega} gu 'dV & = 0 int _ {částečné Omega} psi vlevo ({vec {c}} u'-mu abla u'ight) cdot {vec {n}} dA + int _ {Omega } u'left (- {vec {c}} cdot abla psi ight) dV + int _ {částečné Omega} u'left (mu abla psi ight) cdot {vec {n}} dA-int _ {Omega} u ' abla cdot left (mu abla psi ight) dV-int _ {Omega} gu 'dV & = 0qquad {ext {(Opakující se integrace částmi na termín difúze objemu)}} int _ {Omega} u'left [- {vec { c}} cdot abla psi -abla cdot vlevo (mu abla psi ight) -gight] dV + int _ {částečné Omega} psi vlevo ({vec {c}} u'-mu abla u'ight) cdot {vec {n }} dA + int _ {částečné Omega} u'left (mu abla psi ight) cdot {vec {n}} dA & = 0.end {zarovnáno}}}

Adjungované PDE a jeho okrajové podmínky lze odvodit z poslední výše uvedené rovnice. Od té doby ${displaystyle u '}$ je v doméně obecně nenulová ${displaystyle Omega}$ , je to nutné ${displaystyle left [- {vec {c}} cdot abla psi -abla cdot left (mu abla psi ight) -gight]}$ být nulový ${displaystyle Omega}$ , aby objemový termín zmizel. Podobně od prvotního toku ${displaystyle left ({vec {c}} u'-mu abla u'ight) cdot {vec {n}}}$ je na hranici obecně nenulová, požadujeme ${displaystyle psi}$ aby tam byla nula, aby první hraniční člen zmizel. Druhý hraniční člen zmizí triviálně, protože to vyžaduje primární hraniční podmínka ${displaystyle u '= 0}$ na hranici.

Proto je adjunkční problém dán vztahem:

{displaystyle {egin {aligned} - {vec {c}} cdot abla psi -abla cdot left (mu abla psi ight) & = g, qquad {vec {x}} v Omega, psi & = 0, qquad {vec {x}} v částečném Omega .end {zarovnáno}}}

Všimněte si, že advekční člen obrací znaménko konvekční rychlosti ${displaystyle {vec {c}}}$ v adjunktní rovnici, zatímco difuzní člen zůstává samoadjungovaný.

Viz také

Reference

Jameson, Antony (1988). "Aerodynamický design pomocí teorie řízení". Journal of Scientific Computing. 3 (3).

Tento aplikovaná matematika související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

Tento článek o tématu strojírenství je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.