Náhodná symetrie - Accidental symmetry

V teorii pole

v fyzika, zejména v renormalizace teorie, an náhodná symetrie je symetrie, která je v renormalizovatelné teorii přítomna pouze proto, že termíny, které ji rozbíjejí, mají příliš vysokou dimenzi, aby se mohly objevit Lagrangian.[1]

Ve standardním modelu je leptonové číslo a baryonové číslo jsou náhodné symetrie, zatímco v mřížových modelech, rotační invariance je náhodné.

V kvantové mechanice

Souvislost mezi symetrií a degenerací (tj. Skutečnost, že se zdánlivě nesouvisející veličiny ukáží jako stejné) je v každodenní praxi známá. Zvažte jednoduchý příklad, kde nakreslíme tři body na rovinu a vypočítáme vzdálenost mezi každým ze tří bodů. Pokud jsou body umístěny náhodně, pak se obecně všechny tyto vzdálenosti budou lišit. Pokud jsou však body uspořádány tak, že rotace o 120 stupňů ponechá obraz neměnný, budou vzdálenosti mezi nimi všechny stejné (jak tato situace zjevně popisuje rovnostranný trojúhelník). Pozorovaná degenerace se scvrkává na skutečnost, že systém má D.3 symetrie.

V kvantové mechanice se výpočty (přinejmenším formálně) snižují na diagonalizaci hermitovských matic - zejména Hamiltonovské, nebo v kontinuálním případě řešení lineárních diferenciálních rovnic. Pozorované degenerace ve vlastním spektru jsou opět důsledkem diskrétních (nebo kontinuálních) symetrií. V druhém případě Noetherova věta také zaručuje konzervovaný proud. „Náhodná“ symetrie je název pro pozorované degenerace, které zjevně nejsou důsledkem symetrie.

Termín je zavádějící, protože pozorovaná degenerace není vůbec náhodná a je důsledkem „skryté“ symetrie, která z Hamiltonian v daném základě není hned zřejmá. Nerelativistické atomy vodíku jsou toho dobrým příkladem - jeho konstrukcí je jeho hamiltonián neměnný v rámci celé rotační skupiny ve 3 dimenzích, SO (3). Méně zřejmým rysem je, že Hamiltonian je také neměnný pod SO (4), rozšíření SO (3) na 4D, jehož SO (3) je podskupina (další způsob, jak to říci, je, že všechny možné rotace ve 3D jsou možné také ve 4D - prostě se neotáčíme kolem další osy). To vede k „náhodné“ degeneraci pozorované u vodíkového vlastního spektra.

Jako příjemnější příklad zvažte Hermitovu matici:



Ačkoli mezi prvky matice již existují nějaké sugestivní vztahy, na první pohled není jasné, jaká je symetrie této matice. Je však snadné prokázat, že pomocí jednotné transformace je tato matice ekvivalentní:



Což lze ověřit přímo numericky (nebo pro puristy analyticky - viz Čebyševovy polynomy pro některé stopy) diagonalizace submatice vytvořené odstraněním prvního řádku a sloupce. Otočení základny definující tuto dílčí matici pomocí výsledné jednotkové jednotky přinese původní matici do původně uvedené formy. Tato matice má P4 permutační symetrie, která je na tomto základě mnohem snáze viditelná a může představovat „skrytou“ symetrii. V tomto případě v eigenspectru nejsou žádné degenerace. Technickým důvodem je to, že každý vlastní stát se transformuje s ohledem na jiný neredukovatelné zastoupení z P.4. Pokud bychom narazili na případ, kdy nějaká skupina vlastních stavů odpovídá stejnému neredukovatelnému zastoupení „skryté“ skupiny symetrie, byla by pozorována degenerace.

I když pro tuto jednoduchou matici 4x4 bylo možné uhodnout symetrii (koneckonců vždycky tam byla pro začátek), kdyby byla matice větší, bylo by obtížnější ji zjistit.

Viz také

externí odkazy

Reference

  1. ^ Bah, Ibrahima; Bonetti, Federico (01.01.2020). „Příliv anomálií, náhodná symetrie a spontánní narušení symetrie“. Journal of High Energy Physics (Ročník 2020, vydání 1). doi:10.1007 / JHEP01 (2020) 117.