Η nastavit - Η set

V matematice, an η soubor je typ úplně objednaná sada představil Hausdorff (1907, str.126, 1914, kapitola 6 oddíl 8), který zobecňuje typ objednávky η racionálních čísel.

Definice

Pokud je α ordinál, pak a ηα set je zcela uspořádaná množina tak, že pokud X a Y jsou dvě podmnožiny mohutnosti menší než ℵα tak, že každý prvek X je menší než každý prvek Y pak je nějaký prvek větší než všechny prvky X a méně než všechny prvky Y.

Příklady

Jediné neprázdné počítatelné η0 množina (až do izomorfismu) je uspořádaná množina racionálních čísel.

Předpokládejme, že κ = ℵα je řádným kardinálem a nechť X být souborem všech funkcí F od κ do {−1,0,1} tak, že pokud F(α) = 0 tedy F(β) = 0 pro všechna β> α, seřazeno lexikograficky. Pak X je ηα soubor. Spojení všech těchto množin je třída neskutečná čísla.

Hustá zcela uspořádaná množina bez koncových bodů je ηα nastavit právě tehdy, pokud je ℵα nasycený.

Vlastnosti

Jakékoli ηα soubor X je univerzální pro maximálně uspořádané množiny mohutnosti ℵα, což znamená, že do každé takové sady lze vložit X.

Pro libovolný daný pořadový α libovolné dva ηα množiny mohutnosti ℵα jsou izomorfní (jako uspořádané sady). An ηα soubor mohutnosti ℵα existuje, pokud ℵα je pravidelné a ∑β <α 2ℵβ ≤ ℵα.

Reference

  • Alling, Norman L. (1962), „O existenci skutečně uzavřených polí, která jsou ηα-sady energie ℵα.", Trans. Amer. Matematika. Soc., 103: 341–352, doi:10.1090 / S0002-9947-1962-0146089-X, PAN  0146089
  • Chang, Chen Chung; Keisler, H. Jerome (1990) [1973]. Teorie modelu. Studie v logice a základech matematiky (3. vyd.). Elsevier. ISBN  978-0-444-88054-3.
  • Felgner, U. (2002), „Die Hausdorffsche Theorie der ηα-Mengen und ihre Wirkungsgeschichte“, Hausdorff Gesammelte Werke (PDF), II, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, s. 645–674
  • Hausdorff (1907), „Untersuchungen über Ordnungstypen V“, Ber. über die Verhandlungen der Königl. Sächs. Ges. der Wiss. zu Lipsko. Matematika-fyz. Klasse, 59: 105–159 Anglický překlad v Hausdorff (2005)
  • Hausdorff, F. (1914), Grundzüge der Mengenlehre, Lipsko: Veit & Co.
  • Hausdorff, Felix (2005), Plotkin, J. M. (ed.), Hausdorff na objednané sady Dějiny matematiky, 25, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN  0-8218-3788-5, PAN  2187098