Povrch s nulovou rychlostí - Zero-velocity surface - Wikipedia

Jacobiho konstanta, povrch nulové rychlosti a křivka

The povrch s nulovou rychlostí je pojem, který se vztahuje k Problém s N-tělem z gravitace. Představuje povrch, který tělo dané energie nemůže protnout, protože by mělo na povrchu nulovou rychlost. Poprvé to představil George William Hill.^[1] Povrch nulové rychlosti je zvláště významný při práci se slabými gravitačními interakcemi mezi obíhající těla.

Problém se třemi těly

Trajektorie (červená) v rovinném kruhovém omezeném problému se třemi tělesy, která několikrát obíhá kolem těžšího tělesa, než unikne na oběžnou dráhu kolem lehčího tělesa. Obrysy označují hodnoty Jacobiho integrálu. Tmavě modrá oblast je vyloučená oblast pro trajektorii, uzavřená povrchem s nulovou rychlostí, kterou nelze překročit.

V oběžníku omezeno problém se třemi těly dvě těžké hmoty obíhají kolem sebe při konstantní radiální vzdálenosti a úhlové rychlosti a částice zanedbatelné hmotnosti je ovlivněna jejich gravitací. Přesunutím do a rotující souřadnicový systém tam, kde jsou hmoty stacionární, se zavádí odstředivá síla. Energie a hybnost nejsou v tomto souřadnicovém systému konzervovány samostatně, ale Jacobi integrál zůstává neměnný:

${ displaystyle C = omega ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) + 2 vlevo ({ frac { mu _ {1}} {r_ {1}}} + { frac { mu _ {2}} {r_ {2}}} doprava) - doleva ({ dot {x}} ^ {2} + { dot {y}} ^ {2} + { dot {z}} ^ {2} vpravo)}$

kde ${ displaystyle omega}$ je rychlost rotace, ${ displaystyle x, y}$ umístění částice v rotujícím souřadnicovém systému, ${ displaystyle r_ {1}, r_ {2}}$ vzdálenosti k tělům a ${ displaystyle mu _ {1}, mu _ {2}}$ jejich hmotnosti krát gravitační konstanta.^[2]

Pro danou hodnotu ${ displaystyle C}$, body na povrchu

${ displaystyle C = omega ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) + 2 vlevo ({ frac { mu _ {1}} {r_ {1}}} + { frac { mu _ {2}} {r_ {2}}} vpravo)}$

vyžadovat to ${ displaystyle { dot {x}} ^ {2} + { dot {y}} ^ {2} + { dot {z}} ^ {2} = 0}$. To znamená, že částice nebude schopna přejet tento povrch (protože druhá mocnina rychlosti by se musela stát zápornou). Toto je povrch úlohy s nulovou rychlostí.^[3]

To znamená nulovou rychlost v rotujícím rámu: v nerotujícím rámu je částice vnímána jako rotující s ostatními tělesy. Povrch také předpovídá pouze to, do kterých oblastí nelze vstoupit, nikoli tvar trajektorie v povrchu.^[2]

Zobecnění

Koncept lze zobecnit na složitější problémy, například s hmotami na eliptických drahách,^[4] obecný rovinný problém se třemi těly,^[5] problém čtyř těl s odporem slunečního větru,^[6] nebo v kruzích.^[7]

Lagrangeovy body

Plocha nulové rychlosti je také důležitým parametrem při hledání Lagrangeovy body. Tyto body odpovídají místům, kde je zdánlivý potenciál v rotujícím souřadném systému extrémní. To odpovídá místům, kde se povrchy nulové rychlosti sevřou a vyvinou díry jako ${ displaystyle C}$ se změnilo.^[8] Vzhledem k tomu, že trajektorie jsou omezeny povrchy, trajektorie, která se snaží uniknout (nebo vstoupit) do oblasti s minimální energií, obvykle projde poblíž Lagrangeova bodu, který se používá v nízkoenergetický přenos plánování trajektorie.

Kupy galaxií

Vzhledem ke skupině galaxie gravitačně interagující, povrch nulové rychlosti se používá k určení, které objekty jsou gravitačně vázány (tj. nepřekonány Hubblova expanze ) a tedy součást a kupa galaxií, tak jako Místní skupina.^[9]

Viz také

• Hill koule
• Nízkoenergetický přenos
• Orbitální mechanika

Reference