Yausova domněnka o první vlastní hodnotě - Yaus conjecture on the first eigenvalue - Wikipedia

V matematice Yauova domněnka o první vlastní hodnotě je od roku 2018 nevyřešenou domněnkou, kterou navrhl Shing-Tung Yau v roce 1982. Ptá se:

Je pravda, že první vlastní číslo pro Operátor Laplace – Beltrami na vloženém minimálním nadpovrchu z ${ displaystyle S ^ {n + 1}}$ je ${ displaystyle n}$ ?

Pokud je to pravda, bude to znamenat, že oblast vloženého minima hyperplochy v ${ displaystyle S ^ {3}}$ bude mít horní hranici pouze v závislosti na rod.

Některé možné formulace jsou následující:

První vlastní hodnota každého uzavřeného vloženého minimální nadpovrch ${ displaystyle M ^ {n}}$ v jednotkové sféře ${ displaystyle S ^ {n + 1}}$ (1) je ${ displaystyle n}$

První vlastní hodnota vloženého kompaktní minimální hyperplocha ${ displaystyle M ^ {n}}$ normy (n + 1) - koule s průřezem 1 je ${ displaystyle n}$

Li ${ displaystyle S ^ {n + 1}}$ je jednotka (n + 1) - koule s její standardní kulatou metrikou, pak první Laplaciánské vlastní číslo na uzavřeném vloženém minimálním nadpovrchu ${ displaystyle { sum} ^ {n} podmnožina S ^ {n + 1}}$ je ${ displaystyle n}$

Yauova domněnka je ověřena pro několik zvláštních případů, ale stále je obecně otevřená.

Shiing-Shen Chern domnělý že uzavřený, minimálně ponořený hyperplocha ${ displaystyle S ^ {n + 1}}$ (1), jehož druhá základní forma má konstantní délku, je izoparametrický. Pokud je to pravda, vytvořilo by to Yauovu domněnku o minimálním nadpovrchu, jehož druhá základní forma má konstantní délku.

Možné zobecnění domněnky Yau:

Nechat ${ displaystyle M ^ {d}}$ být uzavřeným minimálním dílčím potrubím v jednotkové sféře ${ displaystyle S ^ {N + 1}}$ (1) s rozměrem ${ displaystyle d}$ z ${ displaystyle M ^ {d}}$ uspokojující ${ displaystyle d geq { frac {2} {3}} n + 1}$ . Je pravda, že první vlastní hodnota z ${ displaystyle M ^ {d}}$ je ${ displaystyle d}$ ?

Další čtení

Yau, S. T. (1982). Seminář z diferenciální geometrie. Annals of Mathematics Studies. 102. Princeton University Press. 669–706. ISBN 0-691-08268-5. (Problém 100)
Ge, J .; Tang, Z. (2012). "Černová domněnka a izoparametrické hyperplochy". Diferenciální geometrie: Pod vlivem S.S. Chern. Peking: Vysokoškolský tisk. ISBN 978-1-57146-249-7.
Tang, Z .; Yan, W. (2013). „Izoparametrická foliace a domněnka Yau o prvním vlastním čísle“. Journal of Differential Geometry. 94 (3): 521–540. arXiv:1201.0666. doi:10,4310 / jdg / 1370979337.