Věta o řádném uspořádání - Well-ordering theorem - Wikipedia

„Zermelova věta“ přeadresuje tady. Pro Zermelo teorém v teorii her, viz Zermelova věta (teorie her).
Nesmí být zaměňována s Princip objednávání.

v matematika, věta o řádném uspořádání, také známý jako Zermelova věta, uvádí, že každý soubor může být dobře objednané. Sada X je dobře objednané podle a přísná celková objednávka pokud každá neprázdná podmnožina X má nejmenší prvek pod objednávkou. Věta o řádném uspořádání spolu s Zornovo lemma jsou nejdůležitější matematické výroky, které jsou ekvivalentní k axiom volby (často nazývaný AC, viz také Axiom volby § ekvivalenty ).[1][2] Ernst Zermelo představil axiom výběru jako „nezpochybnitelný logický princip“, aby prokázal řádnou větu.[3] Z dobře uspořádané věty lze usoudit, že každá sada je náchylná transfinitní indukce, kterou matematici považují za silnou techniku.[3] Jeden slavný důsledek věty je Banach – Tarski paradox.

Dějiny

Georg Cantor považoval řádnou větu za „základní myšlenkový princip“.[4] Považuje se však za obtížné nebo dokonce nemožné vizualizovat řádné uspořádání ; taková vizualizace by musela zahrnovat axiom výběru.[5] V roce 1904 Gyula Kőnig tvrdil, že dokázal, že taková objednávka nemůže existovat. O několik týdnů později, Felix Hausdorff našel chybu v důkazu.[6] Ukázalo se však, že věta o řádném uspořádání je ekvivalentní s axiomem volby v tom smyslu, že buď jeden společně s Zermelo – Fraenkelovy axiomy je dostačující k prokázání toho druhého v logika prvního řádu (totéž platí pro Zornova lemma ). v logika druhého řádu, nicméně, dobře-objednávat teorém je přísně silnější než axiom výběru: od dobře-objednávat teorém jeden může odvodit axiom výběru, ale od axiomu výběru jeden nemůže odvodit dobře objednávající větu.[7]

O třech výrokech a jejich relativní přístupnosti k intuici je známý vtip:

Axiom volby je zjevně pravdivý, zásada řádného řazení zjevně nepravdivá a kdo o tom může říct Zornovo lemma ?[8]

Důkaz AC

Axiom výběru lze dokázat z věty o řádném uspořádání následovně.

Chcete-li provést funkci výběru pro kolekci neprázdných sad, E, vezměte sjednocení sad E a zavolej to X. Existuje řádná objednávka X; nechat R být takovým objednáním. Funkce pro každou sadu S z E přidružuje nejmenší prvek S, nařízeno (omezení na S z) R, je funkce výběru pro kolekci E.

Podstatným bodem tohoto důkazu je, že zahrnuje pouze jednu libovolnou volbu, a to R; použití věty o řádění na každého člena S z E samostatně by nefungovalo, protože věta pouze tvrdí existenci řádného uspořádání a výběr pro každou z nich S řádné objednání by nebylo jednodušší než výběr prvku.

Poznámky

  1. ^ Kuczma, Marek (2009). Úvod do teorie funkčních rovnic a nerovností. Berlín: Springer. str. 14. ISBN  978-3-7643-8748-8.
  2. ^ Hazewinkel, Michiel (2001). Encyklopedie matematiky: Dodatek. Berlín: Springer. str. 458. ISBN  1-4020-0198-3.
  3. ^ A b Thierry, Vialar (1945). Příručka matematiky. Norderstedt: Springer. str. 23. ISBN  978-2-95-519901-5.
  4. ^ Georg Cantor (1883), „Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten“, Mathematische Annalen 21, s. 545–591.
  5. ^ Sheppard, Barnaby (2014). Logika nekonečna. Cambridge University Press. str. 174. ISBN  978-1-1070-5831-6.
  6. ^ Plotkin, J. M. (2005), „Úvod do“ Konceptu moci v teorii množin"", Hausdorff na objednané sady Dějiny matematiky, 25, American Mathematical Society, str. 23–30, ISBN  9780821890516
  7. ^ Shapiro, Stewart (1991). Foundations without Foundationalism: A Case for Second-Order Logic. New York: Oxford University Press. ISBN  0-19-853391-8.
  8. ^ Krantz, Steven G. (2002), „Axiom výběru“, Krantz, Steven G. (ed.), Příručka logiky a důkazních technik pro informatiku, Birkhäuser Boston, str. 121–126, doi:10.1007/978-1-4612-0115-1_9, ISBN  9781461201151

externí odkazy