Weingartenovy rovnice - Weingarten equations

Weingartenovy rovnice dát expanzi derivace jednotkového normálního vektoru na povrch, pokud jde o první derivace vektor polohy tohoto povrchu. Tyto vzorce byly vytvořeny v roce 1861 německým matematikem Julius Weingarten.^[1]

Výrok v klasické diferenciální geometrii

Nechat S být povrch v trojrozměrném Euklidovský prostor který je parametrizován pozičním vektorem r(u, proti) povrchu. Nechat P = P(u, proti) být pevným bodem na tomto povrchu. Pak

${ displaystyle mathbf {r} _ {u} = { frac { částečné mathbf {r}} { částečné u}}, quad mathbf {r} _ {v} = { frac { částečné mathbf {r}} { částečné v}}}$

jsou dva tangenciální vektory v bodě P.

Nechat n být jednotkou normální vektor a nechte (E, F, G) a (L, M, N) být koeficienty za prvé a druhé základní formy tohoto povrchu. Weingartenova rovnice dává první derivaci normálového vektoru jednotky n v bodě P z hlediska tečných vektorů r_u a r_proti:

${ displaystyle mathbf {n} _ {u} = { frac {FM-GL} {EG-F ^ {2}}} mathbf {r} _ {u} + { frac {FL-EM} { EG-F ^ {2}}} mathbf {r} _ {v}}$

${ displaystyle mathbf {n} _ {v} = { frac {FN-GM} {EG-F ^ {2}}} mathbf {r} _ {u} + { frac {FM-EN} { EG-F ^ {2}}} mathbf {r} _ {v}}$

To lze vyjádřit kompaktně v indexové notaci jako

${ displaystyle částečné _ {a} mathbf {n} = K_ {a} ^ {~ b} mathbf {r} _ {b}}$,

kde K._ab jsou komponenty tenzoru zakřivení povrchu.

Poznámky

Reference

• Weisstein, Eric W. „Weingartenovy rovnice“. MathWorld.
• Springer Encyclopedia of Mathematics, Weingartenovy derivační vzorce
• Struik, Dirk J. (1988), Přednášky o klasické diferenciální geometrii, Dover Publications, s. 108, ISBN  0-486-65609-8
• Erwin Kreyszig, Diferenciální geometriePublikace Dover, 1991, ISBN  0-486-66721-9, oddíl 45.